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== 逆三角関数 ==

○ sinx の逆関数

 三角関数のグラフ,例えば y=sinx のグラフは,図1のように y=−1 からy=1 までの値を何度もとる.
 x の値を定めれば y の値は定まるが,ある y の値をとる元の x はただ一つではない.(x:多 対 y:1の対応)
 そこで,三角関数の逆の対応,すなわち
y=sinx ⇔ x=?( y)
という関数を考えるときは,図1の赤で示したように,
y=sinx (≦x≦) (−1≦y≦1)
を考え,y=sinx の逆関数を
y=arcsinx または y=sin−1x
で表わす.

 逆三角関数 y=arcsinx の値は, の値を考え,この値を「主値」と呼ぶ.

 このとき,y=arcsinx (−1≦x≦1) (≦y≦ )となる.
図1
y=sinx
例1
sin=  ⇔  arcsin=

sin=1  ⇔  arcsin1 =

○ cosx の逆関数

 y=cosx の逆関数は
y=arccosx または y=cos−1x
で表わす.主値は,0 π とする.

 すなわち,
y=cosx (0≦x≦π)(−1≦y≦1)
の定義域と値域を入れ替えて,
y=arccosx (−1≦x≦1) (0≦y≦π)
とする.
図2
y=cosx
例2
cos=  ⇔  arccos=

cos=0  ⇔  arccos0 =

○ tanx の逆関数

 y=tanx の逆関数は
y=arctanx または y=tan−1x
で表わす.主値は とする.

 すなわち,
y=tanx (<x<)(−∞<y<∞)
の定義域と値域を入れ替えて,
y=arctanx (−∞<x<∞) (<y< )
とする.
図3
y=tanx
例3
tan=1  ⇔  arctan1=

tan0=0  ⇔  arctan0 = 0

■即答問題■

 次の値を求めよ.
 はじめに,上から問題を選び,続いて下から解答を選べ.
 ただし,主値は次の範囲にある値とする.


合っていれば消える.
解説が必要な時は,問題を選んでから
このボタンを押す→HELP
     
     
  

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○ 逆三角関数の導関数

[要点]
y=arcsinx → y= ・・・(1)

図4
(証明)
逆関数の微分法を用いる.
(1)←:
y=arcsinx ⇔ x=siny

=


ここで,=cosy= = だから

=

(図4のように,主値については,y≧0 となる.)

y=arccosx → y=− ・・・(2)

(2)←:
y=arccosx ⇔ x=cosy

=


ここで,=−siny=−=− だから

=−

(図5のように,主値については,y≦0 となる.
図5

y=arctanx → y= ・・・(3)
(3)←:
y=arctanx ⇔ x=tany

=


ここで,==1+tan2y だから


=cos2y==

(図6のように,主値については,y≧0 となる.
図6

■短答問題■

 次の関数の導関数を求めよ.(選択肢の番号で答えよ.半角数字に限る)
解説が必要な時は,このボタンを押す→HELP
y=arcsin → y=

y=arccos → y=

y=arctan → y=

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