逆三角関数

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== 逆三角関数 ==
○　sinx の逆関数

　三角関数のグラフ，例えば y=sinx のグラフは，図1のように y=−1 からy=1 までの値を何度もとる．
　x の値を定めれば y の値は定まるが，ある y の値をとる元の x はただ一つではない．（x:多対 y:１の対応）
　そこで，三角関数の逆の対応，すなわち y=sinx　⇔　x=?( y) という関数を考えるときは，図１の赤で示したように，

y=sinx (−≦x≦) (−1≦y≦1)

を考え，y=sinx の逆関数を
y=arcsinx または y=sin−1x で表わす．

　逆三角関数 y=arcsinx の値は， −〜の値を考え，この値を「主値」と呼ぶ．

　このとき，y=arcsinx　(−1≦x≦1) (−≦y≦ )となる．

図１
y=sinx

例1
sin= 　⇔　 arcsin=

sin=1 　⇔　 arcsin1 =

○　cosx の逆関数

　y=cosx の逆関数は

y=arccosx または y=cos−1x で表わす．主値は，0 〜π とする．

　すなわち，
y=cosx　(0≦x≦π)(−1≦y≦1) の定義域と値域を入れ替えて，
y=arccosx　(−1≦x≦1) (0≦y≦π) とする．

図2
y=cosx

例2
cos= 　⇔　 arccos=

cos=0 　⇔　 arccos0 =

○　tanx の逆関数

　y=tanx の逆関数は

y=arctanx または y=tan−1x で表わす．主値は−〜とする．

　すなわち， y=tanx　(−<x<)(−∞<y<∞) の定義域と値域を入れ替えて， y=arctanx　(−∞<x<∞) (−<y< ) とする．

図3
y=tanx

例3
tan=1 　⇔　 arctan1=

tan0=0 　⇔　 arctan0 = 0

■即答問題■

　次の値を求めよ．
　はじめに，上から問題を選び，続いて下から解答を選べ．
　ただし，主値は次の範囲にある値とする．

$-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\arcsin y\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ ， $0\underline{\le}\arccos y\underline{\le}\pi$
$-\frac{\pi}{2}\lt\arctan y\lt\frac{\pi}{2}$

合っていれば消える．
解説が必要な時は，問題を選んでから
このボタンを押す→HELP

$\arcsin\frac{1}{2}$ 　　 $\arccos\frac{1}{\sqrt{2}}$ 　　 $\arctan(-\sqrt{3})$

$\arctan(-1)$ 　　 $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ 　　 $\arcsin(-\frac{1}{2})$

$\arcsin 0$ 　　 $\arcsin 1$ [ 完 ]

0　　 $\frac{\pi}{6}$ 　　 $\frac{\pi}{4}$ 　　 $\frac{\pi}{3}$ 　　 $\frac{\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{6}$ 　　 $\frac{2\pi}{3}$ 　　 $\frac{3\pi}{4}$ 　　 $-\frac{\pi}{6}$ 　　 $-\frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{3}$ 　　 $-\frac{\pi}{2}$ 　　 $-\frac{5\pi}{6}$ 　　 $-\frac{2\pi}{3}$ 　　 $-\frac{3\pi}{4}$

○　逆三角関数の導関数

［要点］

y=arcsinx　→　y’= ･･･(1)

図4

(証明)
逆関数の微分法を用いる．
(1)←：
y=arcsinx　⇔　x=siny

=

ここで，=cosy= = だから

=

(図4のように，主値については，y’≧0 となる．)

y=arccosx　→　y’=− ･･･(2)

(2)←：
y=arccosx　⇔　x=cosy

=

ここで，=−siny=−=− だから

=−

(図5のように，主値については，y’≦0 となる．
図5

y=arctanx　→　y’= ･･･(3)

(3)←：
y=arctanx　⇔　x=tany

=

ここで，==1+tan2y だから

=cos2y==

(図6のように，主値については，y’≧0 となる．
図6

■短答問題■

　次の関数の導関数を求めよ．（選択肢の番号で答えよ．半角数字に限る）
解説が必要な時は，このボタンを押す→HELP

1	2　　−	3
4	5　　−	6
7	8　　−	9

$y=\arcsin\frac{x}{3}$

$y=\arcsin t$
$t=\frac{x}{3}$

合成関数の微分法を使う
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\cdot\frac{1}{3}$
$=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\cdot\frac{1}{3}$
$=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

$y=\arccos\frac{x}{3}$

$y=\arccos t$
$t=\frac{x}{3}$

合成関数の微分法を使う
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\cdot\frac{1}{3}$
$=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\cdot\frac{1}{3}$
$=-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$

$y=\frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3}$

$y=\frac{1}{3}\arccos t$
$t=\frac{x}{3}$

合成関数の微分法を使う
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+ t^2}\cdot\frac{1}{3}$
$=\frac{1}{1+\frac{x^2}{9}}\cdot\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{9+ x^2}$

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