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[記号] ax=bのときxをa , bで表わすために新しい記号を導入し，x=logabで表わす． （対数の英語：logarithmを記号にしたもの） [用語] logabについて，aを底，bを真数，logabを対数という． |
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| 対数の記号が表わしている内容は，指数の形に直してみれば分かる． 例1 (1)4=log216⇔24=16 (2)2=log10100⇔102=100 (3)log264=6⇔26=64 |
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| ○ 指数と対数の書き換え 「指数の形」で書かれた式を「対数の形」に直すときも，逆に「対数の形」で書かれた式を「指数の形」に直すときも，次のように対応させればよい．（指数，対数とも左辺，右辺のどちらにあってもよい．）
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 例2 次の式を対数の形で表せ． (1)34=81⇔4=log381 (2)5−2=⇔−2=log5 （なお，この問題で，2=log525は，式自体は正しくても，指数を対数に書き換えたものとはならないので不可） (3)()5=⇔5=log （なお，この問題で，5=log232は，式自体は正しくても，指数を対数に書き換えたものとはならないので不可） |
| ■即答問題■ |
| ○対数の計算 底a＞0，a≠1，真数＞0のとき，対数は次の性質を満たす． 計算に当たっては，(3)〜(6)で変形し，(1)(2)に持ち込むとよい．
※初歩的な注意 (3)の公式は，積の対数が，対数の和に等しいことを表わしており，次のような公式はない： ×logaMN=loga(M +N) ×loga(M + N)=logaM logaN (4)についても同様 ×=loga(M−N) ×loga=loga(M−N) |
| ［解説］ (1)←：a0=1だからloga1=0が成り立つ． （底が何であっても，真数が1なら対数は0となる．） (2)←：a1=aだからlogaa=1が成り立つ． （底が何であっても，真数と底が同じなら対数は1となる．） (3)←： apaq=ap+qだからloga(apaq)=p+q ここで， p=logaM⇔ap=M q=logaN⇔aq=N とおくと，
logaMN=logaM + logaN
(4)←： ap/aq=ap−qだからloga(ap/aq)=p−q ここで， p=logaM⇔ap=M q=logaN⇔aq=N とおくと，
loga=logaM−logaN
※歴史的には，天文学の計算 （天文学的数字！という） において掛け算，割り算を足し算，引き算に直せるところが対数の魅力であったが，初歩的な計算練習では(3)(4)の変形で，和差を積商に直すと簡単になることが多い． なお，対数方程式，対数不等式ではほとんどの場合，和差を積商に直すとうまくいく． (5)←： (ap)n=apnだからloga(ap)n=pn ここで， p=logaM⇔ap=M とおくと，
logaMn = n logaM
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(底の変換公式)a , b , c＞0，a , c≠1とする
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| (6)←： logab=xとおくとax=b cを底とする両辺の対数をとると logcax=logcb x logca=logcb logab logca=logcb ゆえに logab = |
| 例3 (1)log10100=log10102 (5) ↓ =2 log1010 (2) ↓ =2 (2) log26 + log2 (3) ↓ = log2(6×)=log216 =log224 (5) ↓ = 4 log22 (2) ↓ =4 (3) log336−log34 (4) ↓ = log3 = log39 =log332 (5) ↓ = 2log33 (2) ↓ =2 |
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(底の変換公式) (4) log23 log34 (6) ↓ = log23 =log24=log222 (5) ↓ =2 log22=2 (5) log2781 (6) ↓ = = (5) ↓ = (2) ↓ = (6) log0.54 (6) ↓ = = (5) ↓ = (2) ↓ =−2 |
| ■数分問題■ |
| (底の変換公式) |