○対数の計算
底a＞0，a≠1，真数＞0のとき，対数は次の性質を満たす．
計算に当たっては，(3)〜(6)で変形し，(1)(2)に持ち込むとよい．
| (1)loga1=0(2)logaa=1 |
(3)logaMN=logaM + logaN
(4)loga=logaM−logaN
(5)logaMn = n logaM |
※初歩的な注意
(3)の公式は，積の対数が，対数の和に等しいことを表わしており，次のような公式はない：
×logaMN=loga(M +N)
×loga(M + N)=logaM logaN
(4)についても同様
×=loga(M−N)
×loga=loga(M−N)
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［解説］
(1)←：a0=1だからloga1=0が成り立つ．
（底が何であっても，真数が1なら対数は0となる．）
(2)←：a1=aだからlogaa=1が成り立つ．
（底が何であっても，真数と底が同じなら対数は1となる．）
(3)←：
apaq=ap+qだからloga(apaq)=p+q
ここで，
p=logaM⇔ap=M
q=logaN⇔aq=N
とおくと，
logaMN=logaM + logaN
(4)←：
ap/aq=ap−qだからloga(ap/aq)=p−q
ここで，
p=logaM⇔ap=M
q=logaN⇔aq=N
とおくと，
loga=logaM−logaN
※歴史的には，天文学の計算 （天文学的数字！という） において掛け算，割り算を足し算，引き算に直せるところが対数の魅力であったが，初歩的な計算練習では(3)(4)の変形で，和差を積商に直すと簡単になることが多い．
なお，対数方程式，対数不等式ではほとんどの場合，和差を積商に直すとうまくいく．
(5)←：
(ap)n=apnだからloga(ap)n=pn
ここで，
p=logaM⇔ap=M
とおくと，
logaMn = n logaM
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(底の変換公式)a , b , c＞0，a , c≠1とする
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(6)←：
logab=xとおくとax=b
cを底とする両辺の対数をとると
logcax=logcb
x logca=logcb
logab logca=logcb
ゆえに
logab =
|
例3
(1)log10100=log10102
(5)
↓
=2 log1010
(2)
↓
=2
(2)
log26 + log2
(3)
↓
=
log2(6×)=log216
=log224
(5)
↓
= 4 log22
(2)
↓
=4
(3)
log336−log34
(4)
↓
=
log3
= log39 =log332
(5)
↓
= 2log33
(2)
↓
=2
|
(底の変換公式)
(4)
log23 log34
(6)
↓
=
log23
=log24=log222
(5)
↓
=2 log22=2
(5)
log2781
(6)
↓
=
=
(5)
↓
=
(2)
↓
=
(6)
log0.54
(6)
↓
=
=
(5)
↓
=
(2)
↓
=−2
|
