|
この単元では，積の微分法の逆計算を考えることにより，不定積分の計算を式の形を変えて行うことを学ぶ． 以下，見やすくするために f(x)，g(x) を f，g で表わすと，積の微分法の公式は，次のとおりであった． これを「部分積分法」の公式という． |
| 例1 ∫ x sinx dx ------ x を微分すると 1 になる（次数が下がる）ことに着目する．
∫ xsinx dx=−xcosx+ ∫ cosx dx この右辺の形ならば，積分計算が簡単にできる． （右辺）=−xcosx +sinx+C ※ 一般に，整式を微分すると次数が下がる（計算しやすくなる）ので，(整式)×(他の関数) の形の積分は，整式の方を微分する側：f(x) に選ぶと，計算が簡単になることが多い． |
|
例2 ∫ ex sinx dx ------ ex や sinxは，何回微分しても消えないが，I=…−I のように同じ式が再度登場すれば，方程式と考えて解ける． 同じ式が登場するまで，２回以上部分積分法を使う．このとき，１つの関数（例えば sinx）は，微分する側ばかりに選ぶことが重要．途中で入れ替わると（微分してから積分するなど）何も残らないので注意．
∫ exsinx dx=−excosx+ ∫ excosx dx 第2項について，もう一度，部分積分法を実行する．
代入すると， ∫ exsinx dx=−excosx+exsinx−∫ exsinx dx ここで，I=∫ exsinx dx とおくと， I=−excosx+exsinx−I ･･･（※ この式では I は任意定数を含めた式とする．） 2I=−excosx+exsinx I= +C ･･･（※により +C が付く．） |
（別解）
∫ exsinx dx= exsinx− ∫ excosx dx 第2項について，もう一度，部分積分法を実行する．
∫ excosx dx = excosx+ ∫ exsinx dx 代入すると， ∫ exsinx dx= exsinx−( excosx+∫ exsinx dx ) ここで，I=∫ exsinx dx とおくと， I= exsinx−excosx −I 2I= exsinx−excosx I= +C （ダメな例） ∫ exsinx dx= exsinx− ∫ excosx dx = exsinx−( exsinx− ∫ exsinx dx) = 0+∫ exsinx dx |
| 例3 部分積分法で計算するには，f(x)，g(x) のうち，不定積分が容易に求まらない方は，微分する側に選ぶほかない． 特に，対数関数 logx は，（整式との積になっていても），微分する側に選ぶとできることが多い． ∫ x logx dx ------ logx を微分する側に選ぶ．
∫ x logx dx= logx− ∫ dx = logx− ∫ dx =logx− +C |
||||||||
| 例4 次のように，1 との積に分けるとできるものがある． ∫ logx dx=∫ 1·logx dx ------ logx を微分する側に選ぶ．
∫ logx dx= xlogx− ∫ dx = xlogx−x+C |
| 短答問題 次の関数の不定積分を求めよ．［半角数字(=1バイト文字)を書き込む］（計算用紙：必要） |
(2) (3) |