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== 部分積分法 ==
○　はじめに

　この単元では，積の微分法の逆計算を考えることにより，不定積分の計算を式の形を変えて行うことを学ぶ．

　以下，見やすくするために f(x)，g(x) を f，g で表わすと，積の微分法の公式は，次のとおりであった．
(f g)’=f ’ g+f g’
　この式の両辺を x で積分すると，
f g=∫ n f ’ g dx+∫ n f g’ dx
移項すると，
∫ n f g’ dx=f g -∫ n f ’ g dx

これを「部分積分法」の公式という．		 例1

∫ n x sinx dx
------
x を微分すると 1 になる（次数が下がる）ことに着目する．
微分する側 f(x)=x → f ’(x)=1
積分する側 g(x)= −cosx ← g’(x)=sinx
------
∫ n xsinx dx=−xcosx+ ∫ n cosx dx

　　　　この右辺の形ならば，積分計算が簡単にできる．
（右辺）=−xcosx +sinx+C

※　一般に，整式を微分すると次数が下がる（計算しやすくなる）ので，(整式)×(他の関数) の形の積分は，整式の方を微分する側：f(x) に選ぶと，計算が簡単になることが多い．
例2

∫ n ex sinx dx
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　ex や sinxは，何回微分しても消えないが，I=…−I のように同じ式が再度登場すれば，方程式と考えて解ける．
　同じ式が登場するまで，２回以上部分積分法を使う．このとき，１つの関数（例えば sinx）は，微分する側ばかりに選ぶことが重要．途中で入れ替わると（微分してから積分するなど）何も残らないので注意．

微分する側 f(x)=ex → f ’(x)=ex
積分する側 g(x)= −cosx ← g’(x)=sinx
------
∫ n exsinx dx=−excosx+ ∫ n excosx dx

　第2項について，もう一度，部分積分法を実行する．
微分する側 p(x)=ex → p’(x)=ex
積分する側 q(x)= sinx ← q’(x)=cosx
∫ n excosx dx =exsinx−∫ n exsinx dx

代入すると，

∫ n exsinx dx=−excosx+exsinx−∫ n exsinx dx

ここで，I=∫ n exsinx dx　とおくと，

I=−excosx+exsinx−I　･･･（※　この式では I は任意定数を含めた式とする．）

2I=−excosx+exsinx

I= +C　･･･（※により +C が付く．）		 （別解）
微分する側 f(x)=sinx → f ’(x)=cosx
積分する側 g(x)= ex ← g’(x)= ex

∫ n exsinx dx= exsinx− ∫ n excosx dx

　第2項について，もう一度，部分積分法を実行する．
微分する側 p(x)=cosx → p’(x)=−sinx
積分する側 q(x)= ex ← q’(x)= ex

∫ n excosx dx = excosx+ ∫ n exsinx dx

代入すると，

∫ n exsinx dx= exsinx−( excosx+∫ n exsinx dx )

ここで，I=∫ n exsinx dx　とおくと，

I= exsinx−excosx −I

2I= exsinx−excosx

I= +C

（ダメな例）

∫ n exsinx dx= exsinx− ∫ n excosx dx

= exsinx−( exsinx− ∫ n exsinx dx) = 0+∫ n exsinx dx
例3

　部分積分法で計算するには，f(x)，g(x) のうち，不定積分が容易に求まらない方は，微分する側に選ぶほかない．
　特に，対数関数 logx は，（整式との積になっていても），微分する側に選ぶとできることが多い．

∫ n x logx dx
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logx を微分する側に選ぶ．
微分する側 f(x)=logx → f ’(x)=
積分する側 g(x)= ← g’(x)=x
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∫ n x logx dx= logx− ∫ n dx = logx− ∫ n dx

=logx− +C
例4

　次のように，1 との積に分けるとできるものがある．

∫ n logx dx=∫ n 1·logx dx
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logx を微分する側に選ぶ．
微分する側 f(x)=logx → f ’(x)=
積分する側 g(x)=x ← g’(x)=1
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∫ n logx dx= xlogx− ∫ n dx = xlogx−x+C

短答問題

　次の関数の不定積分を求めよ．［半角数字(=1バイト文字)を書き込む］（計算用紙：必要）
(1)　 ∫ n x e2x dx=･･･= +C　



(2)
　 ∫ n excos2x dx=･･･=+C



(3)
　 ∫ n x3logx dx=･･･=+C


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