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== 置換積分法 ==
○　はじめに

　変数を置き換えて，積分計算を行う方法を置換積分法という．置換積分法は，合成関数の微分法の逆の計算となっている．
［要点］
右の例のように
　(1)　被積分関数
　(2)　dx
の各々を新しい変数を用いて，元の式と等しい式に置き換える．
　(3)　結果は元の変数xで表わす．
※　積分記号∫ n f(x)dx の中に書かれる f(x) を被積分関数という．
例

∫ n (2x+1)3dx
------
2x+1=t とおくと，
　　　被積分関数は，(2x+1)3=t3

　　　.dtdxnn=2 だから dx=.dt2nn

------
∫ n (2x+1)3dx = ∫ n t3 .dt2nn = .12n ∫ n t3dt = .t48n+C

= .(2x+1)48nnnnnn+C

例と答

(1)　∫ n e3xdx
------
3x=t とおくと，
　　　被積分関数は，e3x=et

　　　.dtdxnn=3 だから dx=.dt3nn

------
∫ n e3xdx = ∫ n et .dt3nn = .et3n+C=.e3x3nn+C

(2)　∫ n sin 3x dx
------
3x=t とおくと，
　　　被積分関数は，sin 3x=sin t

　　　.dtdxnn=3 だから dx=.dt3nn

------
∫ n sin 3x dx = ∫ n sin t .dt3nn = .-cost3nnnnn+C=.-cos3x3nnnnnn+C


(*)　一般に，∫ n f(x)dx=F(x)+C のとき，
∫ n f(ax+b)dx=.1anF(ax+b)+C
が成り立つ．（ただし，a≠0）
例
∫ n (ax+b)ndx=.1an.(ax+b)n+1n+1nnnnnnnn+C

∫ n eax+bdx=.1aneax+b+C

∫ n sin(ax+b)dx=.1an{−cos(ax+b)}+C

※　cos(ax+b)，tan(ax+b) も同様．
(3)　∫ n sin3xcosx dx
------
sin x=t とおくと，
　　　sin3x=t3

　　　※　cos xは保留にしておく．

　　　.dtdxnn=cos x だから dx=.dtcos_xnnnn
------
　∫ n sin3xcosx dx = ∫ n t3 cos x .dtcos_xnnnn

　　※　cos xは約分で消える．

　　= ∫ n t3 dt = .t44n+C = .sin4x4nnnn+C

(4)　∫ n .2xx2+1nnnndx
------
x2+1=t とおくと，
　　　
　　　※　2xは保留にしておく．

　　　.dtdxnn=2x だから dx=.dt2xnn
------
　∫ n .2xx2+1nnnndx= ∫ n .2xtnn.dt2xnn

　　※　2xは約分で消える．

　　= ∫ n .dttnn=log|t|+C=log(x2+1)+C

（x2+1>0 だから，絶対値記号は不要)

(*)　一般に，分子が分母の微分となっているとき，
∫ n.f’(x)f(x)nnnndx=log|f(x)|+C
が成り立つ．
例
∫ n.cosxsinxnnnndx=log|sinx|+C

∫ n .exex+1nnnndx=log(ex+1)+C

短答問題

　次の不定積分を計算して空欄を埋めよ．［半角数字(=1バイト文字)を記入］（別途，計算用紙が必要）
(1)
　　∫ n (4x−5)6dx=･･･=.(x−)nnnnnnnnnnn +C


(2)
　　∫ n .dx(3x+2)4nnnnnn =･･･=− .1(x+)nnnnnnnnnnnnn+C



(3)
　　∫ n cos(2x+3)dx =･･･= .sin(x+)nnnnnnnnnnn+C



(4)
　　∫ n tan(2x+π)dx =･･･=−.1nnlog|cos(2x+π)|+C



(5)　（計算:やや長い）
　　∫ nx .√x+1√nnnni dx =･･･=.(x+1).√x+1√nnnni(x−)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn+C

　　　


(6)
　　∫ n .logxxnnnndx =･･･=.(logx)nnnnnnnn+C

　　　

(7)
　　∫ n .e2x−e−2xe2x+e−2xnnnnnnnndx =･･･=.1nnlog(e2x+e−2x)+C


(8)
　　∫ n .2x+2x2+2x+4nnnnnnndx =･･･=log(x2+x+)+C


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