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変数を置き換えて，積分計算を行う方法を置換積分法という．置換積分法は，合成関数の微分法の逆の計算となっている．
［要点］
※ 積分記号∫
f(x)dx の中に書かれる f(x) を被積分関数という．右の例のように (1) 被積分関数 (2) dx の各々を新しい変数を用いて，元の式と等しい式に置き換える． (3) 結果は元の変数xで表わす． |
| 例 ∫ (2x+1)3dx ------ 2x+1=t とおくと， 被積分関数は，(2x+1)3=t3 =2 だから dx= ------ ∫ (2x+1)3dx = ∫ t3 = ∫ t3dt = +C = +C |
| 例と答 (1) ∫ e3xdx ------ 3x=t とおくと， 被積分関数は，e3x=et =3 だから dx= ------ ∫ e3xdx = ∫ et = +C=+C (2) ∫ sin 3x dx ------ 3x=t とおくと， 被積分関数は，sin 3x=sin t =3 だから dx= ------ ∫ sin 3x dx = ∫ sin t = +C=+C (*) 一般に，∫ f(x)dx=F(x)+C のとき， ∫
f(ax+b)dx=F(ax+b)+C
が成り立つ．（ただし，a≠0）例
∫
(ax+b)ndx=+C
∫ eax+bdx=eax+b+C ∫ sin(ax+b)dx={−cos(ax+b)}+C ※ cos(ax+b)，tan(ax+b) も同様． |
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(3) ∫ sin3xcosx dx ------ sin x=t とおくと， sin3x=t3 ※ cos xは保留にしておく． =cos x だから dx= ------ ∫ sin3xcosx dx = ∫ t3 cos x ※ cos xは約分で消える． = ∫ t3 dt = +C = +C (4) ∫ dx ------ x2+1=t とおくと， ※ 2xは保留にしておく． =2x だから dx= ------ ∫ dx= ∫ ※ 2xは約分で消える． = ∫ =log|t|+C=log(x2+1)+C （x2+1>0 だから，絶対値記号は不要) (*) 一般に，分子が分母の微分となっているとき， ∫
dx=log|f(x)|+C
が成り立つ．例
∫
dx=log|sinx|+C
∫ dx=log(ex+1)+C |
| 短答問題 次の不定積分を計算して空欄を埋めよ．［半角数字(=1バイト文字)を記入］（別途，計算用紙が必要） (1) |
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(1) 4x−5=t とおくと， =4 だから dx= ------ ∫ (4x−5)6dx = ∫ t6 = +C=… |
| (2) |
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(2) 3x+2=t とおくと， =3 だから dx= ------ ∫ = ∫ t−4 =− +C=… |
| (3) |
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(3) 2x+3=t とおくと， =2 だから dx= ------ ∫ cos(2x+3)dx = ∫ cost = +C=… |
| (4) |
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(4) 2x+π=t とおくと， =2 だから dx= ------ ∫ tan(2x+π)dx = ∫ =− ∫ dt =−log|cost|+C=… |
| (5) （計算:やや長い） |
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(5) =tとおくと， x+1=t2，x=t2−1 だから =2t，dx=2tdt ------ ∫ x dx = ∫ (t2−1)t · 2t · dt = 2 ∫ ( t4−t2) dt = 2 ( −)+C=… |
| (6) |
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(6) log x=t とおくと， =，dx=xdt ------ ∫ dx = ∫ xdt= ∫ t dt =+C=… |
| (7) |
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(7) (e2x+e−2x)’=2(e2x−e−2x) だから ∫ dx = ∫ dx =log(分母)+C=… |
| (8) |
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(8) (x2+2x+4)’=2x+2 だから ∫ dx =log(分母)+C=… |