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■微分係数と導関数
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○　はじめに

　平均変化率の極限値が微分係数f ’(a)で，微分係数の定義における定数aを変数 xに変えたものが導関数（微分）f ’(x)なので，次の流れ図に沿って解説する．

○　平均変化率
　中学校で「変化の割合」と呼ばれるものは，高校では「平均変化率」と呼ばれる．

( 平均変化率 ) =
（ｙの増分）
（ｘの増分）

　一般に，関数 y = f(x) の区間 a≦x≦b における平均変化率は

で定義される．
例
(1)　y = x2 の区間 1≦x≦3 における平均変化率
　( xの増分 ) =3−1 = 2
　( yの増分 ) =32−12=8
だから
　( 平均変化率 )==4
(2)　y =−3x + 1の区間 0≦x≦4 における平均変化率
　( x の増分 )=4−0=4
　( y の増分 )=−11−1=-12
だから
　( 平均変化率 )==−3

■即答問題■

　次の各関数の与えられた区間における平均変化率を求めよ．（正しい選択肢をクリック）
(1)　y =2x−1　　(0≦x≦3)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(2)　y =x2　　(0≦x≦4)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(3)　y =x3　　(-1≦x≦2)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(4)　y =2x2+x　　(-1≦x≦1)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　

○　極限値

（はじめに） 関数値と極限値 の違い
-----
右図 1) は
（のとき）
（のとき）
で定義される関数で，関数値 f(1)=3 であるが，xが限りなく1 に近づいたとき f(x) は2 に近づく．
図1)
関数値と
極限値
-----
右図 2) は
（のとき）
（のとき）
で定義される関数で，関数値 g(1)=2 であるが，xが限りなく1 に近づいたとき g(x) は2 に近づく．
図2)
関数値と
極限値
-----
右図 3) は
（のとき）
（のとき）
で定義される関数で，関数値 h(1)=1 であるが，xが限りなく1 に近づいたとき h(x) は2 に近づく．
図 3)
関数値と
極限値
-----
以上の1)2)3)の違いから分かるように，xが限りなく1 に近づくときの f(x) の値（これを極限値という）は，関数値 f(1)とは無関係で，xが1 でないときの1 付近の値で決まる．

（極限値の定義）
　関数 f(x) において，x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき， f(x) が一定の値 b に限りなく近づくとき， x → a のときの f(x) の極限値は b であるといい
または
と書く．

※　「xがaと異なる値をとりながら」という条件は次のようにはたらく．

x≠1のとき

は約分できて x + 1 となるので

　約分する前は代入できないが，約分後は単なる代入と同じ．
※　繰り返しになるが，
例 1)において， ということは，f(x)=2 や f(1)=2 ということではないことに注意
例 3)も同様
例 2)は，定義によって「たまたま」 g(1)=2 となっている．
※　数学専攻の人が精密な証明をするときを除けば，「限りなく近づく」とは何かということに深入りせずに，直感的に理解するとよい．

　関数の極限については，次の公式の組合わせてできるものが求められればよい．

のとき
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)


例と答
(1)
(2)
(3)

■即答問題■

　次の極限値を求めよ．（正しい選択肢をクリック）
(1)
[ 選択肢 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(2)
[ 選択肢 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(3)
[ 選択肢 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(4)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　

○　不定形の極限
は，元の式のそのままの形でx=1を代入すると，
分母が0，分子も0の「0÷0の形」となる．
　このように，元の式に直接値を代入すると「0÷0形」になるものを不定形の極限という．

　不定形の極限は，見かけは不定の形をしているが，不定である原因を取り除けば，極限値は求まり，結果は不定ではない．
　ここで重要となるのが，「xがaと異なる値をとりながら」という条件で，
は，x≠1のとき，x−1≠0だから，分母，分子をx−1で割ることができて，x+1となる．
※　0÷0の形の式を不定形という．
(i)　数学で次の方程式は「解なし」「不能」となる．
 0x=3　(正しくない変形だが)　 x =
　この形の式を「不能形」という．

(ii)　次の方程式は「任意の数」「不定」となる．
 0x=0　(正しくない変形だが)　 x =
　この形の式を「不定形」という．

※　いわゆる「不定形の極限」には，0÷0形以外に，∞-∞形，0×∞形などがあるが，ここでは微分係数・導関数を理解する上で必要な0÷0形のみを取り上げる．

例と答･･･約分により分母，分子が0になる原因（因数）を取り除くところがポイント

(1)

(2)
(3)

(4)

■即答問題■

　次の極限値を求めよ．（正しい選択肢をクリック）

(1)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(2)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(3)
[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　
(4)
[ 選択肢 ]　 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
　

○　微分係数の定義

　関数 y=f(x) の区間 a≦x≦b における平均変化率は，
であるが，この区間の幅を限りなく0に近づけた極限
を関数 y=f(x) の x=aにおける微分係数といい，f’(a)で表わす．
　すなわち，
　f’(a)は，次の形で定義することもできる．（約分などの計算は，こちらの方が簡単になる．）
※　区間 a≦x≦b の幅を限りなく0に近づけると

平均変化率　　の式において，

分母，分子とも限りなく0に近づくが，平均変化率の極限値は0になるのでなく，上に述べたようにいわゆる不定形の極限となり，有限確定値となる．
　また，この極限値f ’(a)は点A(x=a)における接線の傾きとなる．

例1
　f(x) =x2のときx=1における微分係数f’(1)は


または
例2
　f(x)=x3のときx=1における微分係数f’(1)は
例3　［重要例題］
　f(x)=x2のときx=aにおける微分係数f’(a)は

■短答問題■
（半角英数字で答えること）
　次の微分係数を定義に従って計算せよ．
(1)　f(x)=2x+3のときf’(1)
　

(2)　f(x)=3x2+4のときf’(0)
　

(3)　f(x)=x2+x+2のとき f’(2)
　

○　導関数（微分）の定義

　各々の定数aに対して定義される微分係数

を，aに対して微分係数f’(a)を対応させる関数と考えたものを導関数という．

　導関数f’(x)は，元の関数の微分とも呼ばれる．また，導関数を求めることを微分するという．


○　導関数（微分）と微分係数の関係
　導関数が求まると，導関数にxの値を導入するだけで微分係数が求まるので，個々の定数aに対して f’(a)を求める煩雑な手続きは不要となる．
○　導関数（微分）を表わす記号
　微分法は，ニュートンとライプニッツが別々に考え出したと言われており，微分を表わす記号もニュートンの記号とライプニッツの記号がある．各々長所があり，両方とも使われる．
　ニュートンの記号：y’ ，f’(x)
　ライプニッツの記号：，f(x)

　ライプニッツの記号は，Δy=f(x + h)−f(x)，Δx=h として，
平均変化率をで表わすとき，導関数の定義を
の代わりに
と書くものとなっている．(単なる分数ではなく，極限を表わす記号なので， d で約分することはできない．)
例と答

　次の関数の導関数を求めよ．（次の関数を微分せよ．）また，与えられたxの値に対する微分係数を求めよ．

(1)　f(x)=x2，f’(1)




･･･（答）
x=1を代入するとf’(1)=2
(2)　f(x)=x3，f’(2)




…（答）
x=2を代入するとf’(2)=12

■短答問題■
（半角英数字で答えること）
　次の関数の導関数を定義に従って計算せよ．
(1)　f(x)=2x2
=　

(2)　y=−3x+4
=　
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