微分係数，導関数

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■微分係数と導関数 ○　はじめに

　平均変化率の極限値が微分係数f ’(a)で，微分係数の定義における定数aを変数 xに変えたものが導関数（微分）f ’(x)なので，右の流れ図に沿って解説する．

○　平均変化率
　中学校で「変化の割合」と呼ばれるものは，高校では「平均変化率」と呼ばれる．

( 平均変化率 ) =

（ｙの増分）

（ｘの増分）

　一般に，関数 y = f(x) の区間 a≦x≦b における平均変化率は
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
で定義される．

例

(1)　y = x² の区間 1≦x≦3 における平均変化率　( xの増分 ) =3−1 = 2 　( yの増分 ) =3²−1²=8 だから　( 平均変化率 )==4
(2)　y =−3x + 1の区間 0≦x≦4 における平均変化率　( x の増分 )=4−0=4 　( y の増分 )=−11−1=-12 だから　( 平均変化率 )==−3

■即答問題■

　次の各関数の与えられた区間における平均変化率を求めよ．（正しい選択肢をクリック）
(1)　y =2x−1　　(0≦x≦3)

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算]　==2

(2)　y =x2　　(0≦x≦4)

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算]　==4

(3)　y =x3　　(-1≦x≦2)

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算]　==3

(4)　y =2x2+x　　(-1≦x≦1)

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算]　==1

○　極限値

（はじめに）関数値 $f(1)$ と極限値 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ の違い
-----
右図 1) は

$f(x)=\{\begin{matrix}\frac{x^2-1}{x-1}\\\hspace{5}\\3\end{matrix}$ （ $x\ne 1$ のとき）
（ $x=1$ のとき）

で定義される関数で，関数値 f(1)=3 であるが，xが限りなく1 に近づいたとき f(x) は2 に近づく．
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右図 2) は

$g(x)=\{\begin{matrix}\frac{x^2-1}{x-1}\\\hspace{5}\\2\end{matrix}$ （ $x\ne 1$ のとき）
（ $x=1$ のとき）

で定義される関数で，関数値 g(1)=2 であるが，xが限りなく1 に近づいたとき g(x) は2 に近づく．
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右図 3) は

$h(x)=\{\begin{matrix}\frac{x^2-1}{x-1}\\\hspace{5}\\1\end{matrix}$ （ $x\ne 1$ のとき）
（ $x=1$ のとき）

で定義される関数で，関数値 h(1)=1 であるが，xが限りなく1 に近づいたとき h(x) は2 に近づく．
-----
以上の1)2)3)の違いから分かるように，xが限りなく1 に近づくときの f(x) の値（これを極限値という）は，関数値 f(1)とは無関係で，xが1 でないときの1 付近の値で決まる．

（極限値の定義）
　関数 f(x) において，x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき， f(x) が一定の値 b に限りなく近づくとき， x → a のときの f(x) の極限値は b であるといい $f(x)\rightarrow b\hspace{5}(x\rightarrow a)$ または $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ と書く．

※　「xがaと異なる値をとりながら」という条件は次のようにはたらく．

x≠1のとき

は約分できて x + 1 となるので

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow a}(x+ 1)=2$
　約分する前は代入できないが，約分後は単なる代入と同じ．

例 1)
　関数値 $f(1)=3$ と極限値 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$

例 2)
　関数値 $g(1)=2$ と極限値 $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=2$

例 3)
　関数値 $h(1)=1$ と極限値 $\lim_{x\rightarrow 1}h(x)=2$

※　繰り返しになるが，
例 1)において， $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$ ということは，f(x)=2 や f(1)=2 ということではないことに注意
例 3)も同様
例 2)は，定義によって「たまたま」 g(1)=2 となっている．

※　数学専攻の人が精密な証明をするときを除けば，「限りなく近づく」とは何かということに深入りせずに，直感的に理解するとよい．

　関数の極限については，次の公式の組合わせてできるものが求められればよい．

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha,\hspace{3}\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\beta\hspace{2}(\ne 0)$ のとき
(Ⅰ) $\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)+ g(x)\}=\alpha+\beta$
(Ⅱ) $\lim_{x\rightarrow a}\{kf(x)\}=k\alpha$
(Ⅲ) $\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)g(x)\}=\alpha\beta$
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$

例と答
(1) $\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 2)=3$

(2) $\lim_{x\rightarrow 2}(x^2+ 1)=4+ 1=5$

(3) $\lim_{x\rightarrow 3}(3x^2-2x+ 1)=27-6+ 1=22$

■即答問題■

　次の極限値を求めよ．（正しい選択肢をクリック）
(1) $\lim_{x\rightarrow 2}(x+ 3)$

[ 選択肢 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{x\rightarrow 2}(x+ 3)=2+ 3=5$

(2) $\lim_{x\rightarrow 3}(x^2-2)$

[ 選択肢 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{x\rightarrow 3}(x^2-2)=9-2=7$

(3) $\lim_{x\rightarrow 1}x(x+ 3)$

[ 選択肢 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{x\rightarrow 1}x(x+ 3)=1\times(1+ 3)=4$

(4) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3+ 10}{x+ 1}$

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3+ 10}{x+ 1}=\frac{18}{3}=6$

○　不定形の極限
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ は，元の式のそのままの形でx=1を代入すると，
分母が0，分子も0の「0÷0の形」となる．
　このように，元の式に直接値を代入すると「0÷0形」になるものを不定形の極限という．

　不定形の極限は，見かけは不定の形をしているが，不定である原因を取り除けば，極限値は求まり，結果は不定ではない．
　ここで重要となるのが，「xがaと異なる値をとりながら」という条件で，
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+ 1)}{x-1}$ は，x≠1のとき，x−1≠0だから，分母，分子をx−1で割ることができて，x+1となる．

※　0÷0の形の式を不定形という．
(i)　数学で次の方程式は「解なし」「不能」となる．
0x=3　(正しくない変形だが)　 x =
　この形の式を「不能形」という．

(ii)　次の方程式は「任意の数」「不定」となる．
0x=0　(正しくない変形だが)　 x =
　この形の式を「不定形」という．

※　いわゆる「不定形の極限」には，0÷0形以外に，∞-∞形，0×∞形などがあるが，ここでは微分係数・導関数を理解する上で必要な0÷0形のみを取り上げる．

例と答･･･約分により分母，分子が0になる原因（因数）を取り除くところがポイント

(1)
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1^2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sout{(x-1)}(x+ 1)}{\sout{x-1}}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=2$
(2)
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-2^2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sout{(x-2)}(x+ 2)}{\sout{x-2}}=\lim_{x\rightarrow 2}(x+ 2)=4$

(3)
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h^2+ h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(2h+ 1)}{\sout{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(2h+ 1)=1$
(4)
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+ h)^2-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+ 2h+ h^2-1}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h+ h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(2+ h)}{\sout{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(2+ h)=2$

■即答問題■

　次の極限値を求めよ．（正しい選択肢をクリック）

(1) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ x-2}{x-1}$

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+ 2)\sout{(x-1)}}{\sout{x-1}}$
$=\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 2)=3$

(2) $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}$

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sout{(x-3)}(x+ 3)}{\sout{x-3}}$
$=\lim_{x\rightarrow 3}(x+ 3)=6$

(3) $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^2+ 4h}{h}$

[ 選択肢 ]　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
　 [計算] $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^2+ 4h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(h+ 4)}{\sout{h}}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(h+ 4)=4$

(4) $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(-1+ h)^2-1}{h}$

[ 選択肢 ]　 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
　 [計算] $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(-1+ h)^2-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1-2h+ h^2-1}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2h+ h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(-2+ h)}{\sout{h}}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(-2+ h)=-2$

○　微分係数の定義　関数 y=f(x) の区間 a≦x≦b における平均変化率は， $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ であるが，この区間の幅を限りなく0に近づけた極限 $\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を関数 y=f(x) の x=aにおける微分係数といい，f’(a)で表わす．　すなわち， $f\apos(a)=\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 　f’(a)は，次の形で定義することもできる．（約分などの計算は，こちらの方が簡単になる．） $f\apos(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$	※　区間 a≦x≦b の幅を限りなく0に近づけると平均変化率　　の式において，分母，分子とも限りなく0に近づくが，平均変化率の極限値は0になるのでなく，上に述べたようにいわゆる不定形の極限となり，有限確定値となる．　また，この極限値f ’(a)は点A(x=a)における接線の傾きとなる．
例1 　f(x) =x2のときx=1における微分係数f’(1)は $f\apos(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1^2}{x-1}$ $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sout{(x-1)}(x+ 1)}{\sout{x-1}}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=2$ または $f\apos(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+ h)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+ h)^2-1^2}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+ 2h+ h^2-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(2+ h)}{\sout{h}}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}(2+ h)=2$
例2 　f(x)=x3のときx=1における微分係数f’(1)は $f\apos(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+ h)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+ h)^3-1^3}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+ 3h+ 3h^2+ h^3-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3h+ 3h^2+ h^3}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(3+ 3h+ h^2)}{\sout{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(3+ 3h+ h^2)=3$
例3　［重要例題］　f(x)=x2のときx=aにおける微分係数f’(a)は $f\apos(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(a+ h)^2-a^2}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^2+ 2ah+ h^2-a^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+ h^2}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(2a+ h)}{\sout{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(2a+ h)=2a$
■短答問題■ （半角英数字で答えること）　次の微分係数を定義に従って計算せよ． (1)　f(x)=2x+3のときf’(1) $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(1+ h)+ 3-(2+ 3)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\sout{h}}{\sout{h}}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}2=$ 　 (2)　f(x)=3x2+4のときf’(0) $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(3h^2+ 4)-(0+ 4)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(3h)}{\sout{h}}$ $=$	(3)　f(x)=x2+x+2のとき f’(2) $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+ h)^2+(2+ h)+ 2-8}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(5+ h)}{\sout{h}}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}(5+ h)=$

○　導関数（微分）の定義

　各々の定数aに対して定義される微分係数
$f\apos(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$
を，aに対して微分係数f’(a)を対応させる関数と考えたものを導関数という．
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
　導関数f’(x)は，元の関数の微分とも呼ばれる．また，導関数を求めることを微分するという．

○　導関数（微分）と微分係数の関係

　導関数が求まると，導関数にxの値を導入するだけで微分係数が求まるので，個々の定数aに対して f’(a)を求める煩雑な手続きは不要となる．

○　導関数（微分）を表わす記号

　微分法は，ニュートンとライプニッツが別々に考え出したと言われており，微分を表わす記号もニュートンの記号とライプニッツの記号がある．各々長所があり，両方とも使われる．

　ニュートンの記号：y’ ，f’(x)

　ライプニッツの記号：，f(x)

　ライプニッツの記号は，Δy=f(x + h)−f(x)，Δx=h として，
平均変化率をで表わすとき，導関数の定義を

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ の代わりに $\frac{dy}{dx}$

と書くものとなっている．(単なる分数ではなく，極限を表わす記号なので， d で約分することはできない．)

例と答

　次の関数の導関数を求めよ．（次の関数を微分せよ．）また，与えられたxの値に対する微分係数を求めよ．

(1)　f(x)=x2，f’(1)

$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^2-x^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+ 2xh+ h^2-x^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+ h^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(2x+ h)}{\sout{h}}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+ h)=2x$ ･･･（答）

x=1を代入するとf’(1)=2

(2)　f(x)=x3，f’(2)

$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^3-x^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^3+ 3x^2h+ 3xh^2+ h^3-x^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2h+ 3xh^2+ h^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(3x^2+ 3xh+ h^2)}{\sout{h}}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(3x^2+ 3xh+ h^2)=3x^2$ …（答）

x=2を代入するとf’(2)=12

■短答問題■
（半角英数字で答えること）
　次の関数の導関数を定義に従って計算せよ．
(1)　f(x)=2x2

(2)　y=−3x+4

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