整式の微分

== 微分法 ==

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○　整式（多項式）の微分

(1)　関数y=f(x)のxにおける接線の傾きは，その導関数f’(x)に等しい．

※　導関数を求めることを，微分するという．
(2)　整式を微分するには，次の公式による．

·y=xⁿ → y’=nx^n-1 ( n=1，2，3，･･･）
·y=k (定数) → y’= 0

例1
· y=x　→ y’= 1
· y=x² → y’= 2x
· y=x³ → y’= 3x²
· y=x⁴ → y’= 4x³
· y=5　→ y’= 0

（解説）
f(x)=k(定数)のとき，
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{k-k}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}=0$
f(x)=xのとき，
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)-x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h}=1$
f(x)=x2のとき，
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^2-x^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+ 2xh+ h^2-x^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(2x+ h)}{\sout{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+ h)=2x$
f(x)=x3のとき，
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^3-x^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^3+ 3x^2h+ 3xh^2+ h^3-x^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2h+ 3xh^2+ h^3}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(3x^2+ 3xh+ h^2)}{\sout{h}}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(3x^2+ 3xh+ h^2)=3x^2$
一般に，f(x)=xnのとき，
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+ h)^n-x^n}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^n+ nx^{n-1}h+\cdots+ nxh^{n-1}+ h^n-x^n}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{nx^{n-1}h+\cdots+ nxh^{n-1}+ h^n}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sout{h}(nx^{n-1}+\cdots+ nxh^{n-2}+ h^{n-1})}{\sout{h}}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(nx^{n-1}+\cdots+ nxh^{n-2}+ h^{n-1})$
$=nx^{n-1}$

(3)　関数の定数倍，和差の微分については，次の公式が成り立つ．（微分してから定数倍，和差を作ればよい．）
· $y=kf(x)\rightarrow y\apos(x)=kf\apos(x)$
· $y=f(x)+ g(x)\rightarrow y\apos(x)=f\apos(x)+ g\apos(x)$

例2
·　y=3x² → y’= 3·2x=6x
·　y=2x⁵ → y’= 2·5x⁴=10x⁴
·　y=x²+x → y’= 2x+1
·　y=x⁵−x⁴ → y’= 5x⁴−4x³
·　y=4x³−3x² → y’= 12x²−6x
·　y=-3x²+4x − 2 → y’=−6x+4

(4)　関数の積，商の微分については，次のような計算はできないので注意が必要
$f(x)g(x)\rightarrow\times\rightarrow f\apos(x)g\apos(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow\times\rightarrow \frac{f\apos(x)}{g\apos(x)}$
　

整式の積は展開してから微分すると簡単に計算できる．
例3
·　y=(x+1)(x+2)
→ y=x²+3x+2 → y’=2x+3

·　y =(x+1)²
→ y=x²+2x+1 → y’=2x+2

■即答問題■

(2)　次の関数を微分せよ．

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