12　行列式３

○　はじめに

　　この節では，余因子というスカラーを定義し，行列式を計算するための余因子展開について述べる．次に，余因子を要素とする余因子行列を定義し，逆行列との関連を述べる．

○　前節5.2で述べた行列式の値を次数を下げて計算する方法は，次のようになっていた．

$\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ 0& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ 0& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$ または $\begin{vmatrix}a_{11}& 0&\ldots& 0\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$
$=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$
　この (1,1)成分と残りn−1 次の行列式という組合せで次数を下げる方法は，行の入れ替えを用いると次のように拡張できる．
　(2,1)成分のみ0でなく，他の1列目の成分が0であるとき，

1行と2行を入れ替え

$\begin{vmatrix}0& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ 0& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$ $=(-1)\begin{vmatrix} a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\0& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ 0& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$

次数が下がる

$=(-1)a_{21}\begin{vmatrix} a_{22}& \ldots& a_{2n}\\a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$
　一般に，(i,1)成分のみ0でなく，他の1列目の成分が0であるとき，直接i行と1行を入れ替えると，1回で入れ替えできるが，行列成分の並び方が変わって定式化しにくい．これに対して，i行を順次上の行と入れ替えていくと，i−1回の入れ替えで，1行目に来るようにできる．

１つ上の行と入れ換える

0	a12	…	a1n
:	:		:
0	ai-1 2	…	ai-1 n
ai1	ai2	…	ain
:	:	$\ddots$	:
0	an2	…	ann

$=(-1)$

0	a12	…	a1n
:	:		:
ai1	ai2	…	ain
0	ai-1 2	…	ai-1 n
:	:	$\ddots$	:
0	an2	…	ann

順次上の行と入れ替える［i−1回］

$=(-1)^{i-1}$

ai1	ai2	…	ain
0	a12	…	a1n
:	:		:
0	ai-1 2	…	ai-1 n
:	:	$\ddots$	:
0	an2	…	ann

　列の入れ替えについても１回の入れ替えで符号が１回変わるから，(i,j)成分のみ0でなく，他のj列目の成分が0であるとき，同様にして，まず第j列を第1列まで順次入れ替えてから，次に第i行を順次第1行まで入れ替えればよい

a11	…	a1 j-1	0	…	a1n
:	…	…	0		:
ai1	…	ai j-1	aij	…	ain
:	…	…	0	$\ddots$	:
an1	…	an j-1	0	…	ann

１つ左の列と入れ換える

$=(-1)$

a11	…	0	a1 j-1	…	a1n
:	…	0	…		:
ai1	…	aij	ai j-1	…	ain
:	…	0	…	$\ddots$	:
an1	…	0	an j-1	…	ann

順次左の列と入れ替える［ j−1 回］

$=(-1)^{j-1}$

0	a11	…	a1 j-1	…	a1n
0	:	…	…		:
aij	ai1	…	ai j-1	…	ain
0	:	…	…	$\ddots$	:
0	an1	…	an j-1	…	ann

$=(-1)^{j-1+ i-1}$

aij	ai1	…	ai j-1	…	ain
0	a11	…	a1 j-1	…	a1n
0	:	…	…		:
0	:	…	…	$\ddots$	:
0	an1	…	an j-1	…	ann

順次上の行と入れ替える［ i−1 回］

$=(-1)^{i+ j}$

aij	ai1	…	ai j-1	…	ain
0	a11	…	a1 j-1	…	a1n
0	:	…	…		:
0	:	…	…	$\ddots$	:
0	an1	…	an j-1	…	ann

次数が下がる

$=(-1)^{i+ j}a_{ij}$

a11	…	a1 j-1	…	a1n
:	…	…		:
:	…	…	$\ddots$	:
an1	…	an j-1	…	ann

　行についても同様だから，n−1次の正方行列でaijを除くi行またはj列の他の成分がすべて0のとき，i行とj列を除いたn−1次の行列式で表わすことができる．

a11	…	0	…	a1n
:		0		:
aij	…	aij	…	ain
:		0	$\ddots$	:
an1	…	0	…	ann

または

a11	…	a1j	…	a1n
:		…		:
0	0	aij	0	0
:		…	$\ddots$	:
an1	…	anj	…	ann

$=(-1)^{i+ j}a_{ij}$

a11	…	…	a1n
:	…		:
:	…	$\ddots$	:
an1	…	…	ann