12　行列式３

○　はじめに

　　この節では，余因子というスカラーを定義し，行列式を計算するための余因子展開について述べる．次に，余因子を要素とする余因子行列を定義し，逆行列との関連を述べる．

○　前節5.2で述べた行列式の値を次数を下げて計算する方法は，次のようになっていた．

$\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ 0& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ 0& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$ または $\begin{vmatrix}a_{11}& 0&\ldots& 0\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$
$=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$
　この (1,1)成分と残りn−1 次の行列式という組合せで次数を下げる方法は，行の入れ替えを用いると次のように拡張できる．
　(2,1)成分のみ0でなく，他の1列目の成分が0であるとき，

1行と2行を入れ替え
$\begin{vmatrix}0& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ 0& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$ $=(-1)\begin{vmatrix} a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\0& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ 0& a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$

次数が下がる
$=(-1)a_{21}\begin{vmatrix} a_{22}& \ldots& a_{2n}\\a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$
　一般に，(i,1)成分のみ0でなく，他の1列目の成分が0であるとき，直接i行と1行を入れ替えると，1回で入れ替えできるが，行列成分の並び方が変わって定式化しにくい．これに対して，i行を順次上の行と入れ替えていくと，i−1回の入れ替えで，1行目に来るようにできる．

１つ上の行と入れ換える

0 a12 … a1n

: :
:

0 ai-1 2 … ai-1 n

ai1 ai2 … ain

: : $\ddots$ :

0 an2 … ann

$=(-1)$

0 a12 … a1n

: :
:

ai1 ai2 … ain

0 ai-1 2 … ai-1 n

: : $\ddots$ :

0 an2 … ann

順次上の行と入れ替える［i−1回］
$=(-1)^{i-1}$

ai1 ai2 … ain

0 a12 … a1n

: :
:

0 ai-1 2 … ai-1 n

: : $\ddots$ :

0 an2 … ann

　列の入れ替えについても１回の入れ替えで符号が１回変わるから，(i,j)成分のみ0でなく，他のj列目の成分が0であるとき，同様にして，まず第j列を第1列まで順次入れ替えてから，次に第i行を順次第1行まで入れ替えればよい

１つ左の列と入れ換える

a11 … a1 j-1 0 … a1n

: … … 0
:

ai1 … ai j-1 aij … ain

: … … 0 $\ddots$ :

an1 … an j-1 0 … ann

$=(-1)$

a11 … 0 a1 j-1 … a1n

: … 0 …
:

ai1 … aij ai j-1 … ain

: … 0 … $\ddots$ :

an1 … 0 an j-1 … ann

順次左の列と入れ替える［ j−1 回］
$=(-1)^{j-1}$

0 a11 … a1 j-1 … a1n

0 : … …
:

aij ai1 … ai j-1 … ain

0 : … … $\ddots$ :

0 an1 … an j-1 … ann

順次上の行と入れ替える［ i−1 回］
$=(-1)^{j-1+ i-1}$

aij ai1 … ai j-1 … ain

0 a11 … a1 j-1 … a1n

0 : … …
:

0 : … … $\ddots$ :

0 an1 … an j-1 … ann

$=(-1)^{i+ j}$

aij ai1 … ai j-1 … ain

0 a11 … a1 j-1 … a1n

0 : … …
:

0 : … … $\ddots$ :

0 an1 … an j-1 … ann

次数が下がる
$=(-1)^{i+ j}a_{ij}$

a11 … a1 j-1 … a1n

: … …
:

: … … $\ddots$ :

an1 … an j-1 … ann

　行についても同様だから，n−1次の正方行列でaijを除くi行またはj列の他の成分がすべて0のとき，i行とj列を除いたn−1次の行列式で表わすことができる．

a11 … 0 … a1n

:
0
:

aij … aij … ain

:
0 $\ddots$ :

an1 … 0 … ann

または

a11 … a1j … a1n

:
…
:

0 0 aij 0 0

:
… $\ddots$ :

an1 … anj … ann

$=(-1)^{i+ j}a_{ij}$

a11 … … a1n

: …
:

: … $\ddots$ :

an1 … … ann

○　余因子の定義

　n次正方行列 $A=[a_{ij}]$ の第i行と第j列を取り除いて得られるn−1次の正方行列の行列式に(−1)i+jを掛けた（※波線は取り除く部分）
$A_{ij}=(-1)^{i+ j}$

a11 … a1j … a1n

: … …
:

: … aij … ain

: … : … :

an1 … anj … ann

を(i, j)余因子という．
例１

$A=\begin{pmatrix}3& 4& -1\\ 2& 5& -2\\ 1& 6& -4\end{pmatrix}$ とするとき，
$A_{11}=\begin{vmatrix}5& -2\\ 6& -4\end{vmatrix}=-8$

$A_{23}=(-1)^{2+ 3}\begin{vmatrix}3& 4\\ 1& 6\end{vmatrix}=-14$
（※余因子は行列式なので，スカラー（単なる数）となる．）

余因子Aijを用いると，上に述べた行列式の次数を下げる変形は次の形で表わされる．

a11 … 0 … a1n

:
0
:

aij … aij … ain

:
0 $\ddots$ :

an1 … 0 … ann

または

a11 … a1j … a1n

:
…
:

0 0 aij 0 0

:
… $\ddots$ :

an1 … anj … ann

$=a_{ij}A_{ij}$

○　余因子展開
正方行列Aの第j列を
$\Bigl($ $\begin{matrix}a_{1j}\\a_{2j}\\ \vdots\\a_{n-1\hspace{1}j}\\a_{nj}\\\end{matrix}$ $\Bigr)$ $=$ $\Bigl($ $\begin{matrix}a_{1j}\\0\\ \vdots\\0\\0\end{matrix}$ $\Bigr)$ $+$ $\Bigl($ $\begin{matrix}0\\0\\ a_{ij}\\0\\0\end{matrix}$ $\Bigr)$ $+$ $\Bigl($ $\begin{matrix}0\\0\\ \vdots\\0\\ a_{nj}\end{matrix}$ $\Bigr)$
と分けて，行列式の線形性を用いると
$\mid A\mid=$

a11	…	a1j	…	a1n
:		:		:
ai1	…	aij	…	ain
:		:		:
an1	…	anj	…	ann

$=$

a11	…	a1j	…	a1n
:		…		:
ai1	…	0	…	ain
:		…		:
an1	…	0	…	ann

$\cdots\hspace{30}\cdots\hspace{30}\cdots$

$+$

a11	…	0	…	a1n
:		…		:
ai1	…	aij	…	ain
:		…		:
an1	…	0	…	ann

$\cdots\hspace{30}\cdots\hspace{30}\cdots$

$+$

a11	…	0	…	a1n
:		…		:
ai1	…	0	…	ain
:		…		:
an1	…	anj	…	ann

$=a_{1j}A_{1j}+ a_{2j}A_{2j}+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+ a_{nj}A_{nj}$
となる．これを行列式|A|の第j列に関する余因子展開という．
　同様にして，行列式|A|の第i行に関する余因子展開
$\mid A\mid=a_{i1}A_{i1}+ a_{i2}A_{i2}+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+ a_{in}A_{in}$
が得られる．

例２
$\mid A\mid=\begin{vmatrix}3& 4& -1\\ 2& 5& -2\\ 1& 6& -4\end{pmatrix}$
を第2列で展開すると，
$\mid A\mid=4A_{12}+ 5A_{22}+ 6A_{32}$
$=4\cdot(-1)^3\begin{vmatrix}2& -2\\ 1& -4\end{vmatrix}$ $+ 5\cdot(-1)^4\begin{vmatrix}3& -1\\ 1& -4\end{vmatrix}$ $+ 6\cdot(-1)^5\begin{vmatrix}3& -1\\ 2& -2\end{vmatrix}$
$=-4\cdot(-6)+ 5\cdot(-11)-6\cdot(-4)=-7$

例３
$\mid A\mid=\begin{vmatrix}3& 4& -1\\ 2& 5& -2\\ 1& 6& -4\end{pmatrix}$
を第1行で展開すると，
$\mid A\mid=3A_{11}+ 4A_{12}+ (-1)A_{13}$
$=3\cdot(-1)^2\begin{vmatrix}5& -2\\ 6& -4\end{vmatrix}$ $+ 4\cdot(-1)^3\begin{vmatrix}2& -2\\ 1& -4\end{vmatrix}$ $+ (-1)\cdot(-1)^4\begin{vmatrix}2& 5\\ 1& 6\end{vmatrix}$
$=3\cdot(-8)+(-4)\cdot(-6)+(-1)\cdot 7=-7$

○　余因子行列

　n次正方行列 $A=[a_{ij}]$ に対し
$\tilde{A}=^t[A_{ij}]$
をAの余因子行列という．
(※余因子はスカラー（単なる数）であるので，余因子行列は成分を余因子に置き換え，さらに転置した行列であることが重要)

例４

$A=\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}$ とすると
$A_{11}=d,\hspace{2}A_{12}=-c,\hspace{2}A_{21}=-b,\hspace{2}A_{22}=a$ であるから

$\tilde{A}=^t\begin{pmatrix}A_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{pmatrix}$
$=^t\begin{pmatrix}d& -c\\ -b& a\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}d& -b\\ -c& a\end{pmatrix}$

例５

$A=\begin{pmatrix}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\7& 8& 9\end{pmatrix}$ とすると
$A_{11}=(-1)^{1+ 1}\begin{pmatrix}5& 6\\ 8& 9\end{pmatrix}=-3$
$A_{12}=(-1)^{1+ 2}\begin{pmatrix}4& 6\\ 7& 9\end{pmatrix}=6$
$A_{13}=(-1)^{1+ 3}\begin{pmatrix}4& 5\\ 7& 8\end{pmatrix}=-3$
…　…
$A_{33}=(-1)^{3+ 3}\begin{pmatrix}1& 2\\ 4& 5\end{pmatrix}=-3$
であるから

$\tilde{A}=^t\begin{pmatrix}A_{11}& A_{12}& A_{33}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{pmatrix}$
$=^t\begin{pmatrix}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{pmatrix}$

○　余因子行列 $\tilde{A}$ と逆行列 $A^{-1}$ は，次の関係を満たす．

$\mid A\mid\ne 0$ ならば $A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid}\tilde{A}$
証明
$\mid A\mid\ne 0$ のとき，クラメルの公式を用いて $A^{-1}$ を求めてみる．
$A^{-1}=X=[x_{ij}]=[x_1,\hspace{2}x_2,\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}x_{n}]$ とおくと
$AX=E$
となればよい．
$AX=[Ax_{ij}]=[Ax_1,\hspace{2}Ax_2,\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}Ax_{n}]$
$E=[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{e_n}]$
だから
$A\vec{x_j}=\vec{e_j}\hspace{10}(j=1,\hspace{2}2,\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}n)$
となればよい．
$\vec{x_j}$ の第i成分は，

$x_{ij}=$ | $A$ のi列を $\vec{e_j}$ で置き替えたもの |

$\mid A\mid$

( j=1, 2, …, n )
であるが，この式の分子

↓i列

a11 … 0 … a1n

: … …
:

aj1 … 1 … ajn←j行

: … … $\ddots$ :

an1 … 0 … ann

は，j行i列成分が1となっているので， $(-1)^{j+ i}A_{ji}$ に等しい．
すなわち，
$X=A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid}\tilde{A}$
が成り立つ．

○　また，これより次の定理が得られる．

定理７
$A\tilde{A}=\tilde{A}A=\mid A\mid E$

証明
ア)　 $\mid A\mid\ne 0$ のとき，上に述べたことから， $A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid}\tilde{A}$ から
$A\frac{1}{\mid A\mid}\tilde{A}=E$
分母を払えば
$A\tilde{A}=\mid A\mid E$
$\tilde{A}A=\mid A\mid E$ も同様にして示される．

イ)　 $\mid A\mid=0$ のとき，
$\tilde{A}$ の(i, j)成分が $A_{ji}$ であることに注意すると， $A\tilde{A}$ の(i, j)成分は
$a_{i1}A_{j1}+ a_{i2}A_{j2}+\cdots+ a_{in}A_{jn}$
となるが，
(1) i=jのとき，
　この式は，行列式 $\mid A\mid$ の第i行に関する余因子展開と等しく，
$a_{i1}A_{j1}+ a_{i2}A_{j2}+\cdots+ a_{in}A_{jn}=\mid A\mid=0$
(2) i≠jのとき，
Aの第j行を第i行で置き換えた行列の行列式

… … … … …

ai1 … aik … ain←i行

: … …
:

ai1 … aik … ain←j行

: … … $\ddots$ :

… … … … …

を第j行に関して余因子展開すると，
$a_{i1}A_{j1}+ a_{i2}A_{j2}+\cdots+ a_{in}A_{jn}$
ところが，この行列式は第i行と第j行が等しいから前節で述べた定理５により，0となる．

例６
$A=\begin{pmatrix}1& 5& -4\\ 2& 10&-9\\ -1& -2& 2\end{pmatrix}$
の余因子行列と逆行列を求めよ．
（解答）
$A_{11}=(-1)^{1+ 1}\begin{pmatrix}10& -9\\ -2& 2\end{pmatrix}=2$
$A_{12}=(-1)^{1+ 2}\begin{pmatrix}2& -9\\ -1& 2\end{pmatrix}=5$
$A_{13}=(-1)^{1+ 3}\begin{pmatrix}2& 10\\ -1& -2\end{pmatrix}=6$
$A_{21}=(-1)^{2+ 1}\begin{pmatrix}5& -4\\ -2& 2\end{pmatrix}=-2$
$A_{22}=(-1)^{2+ 2}\begin{pmatrix}1& -4\\ -1& 2\end{pmatrix}=-2$
$A_{23}=(-1)^{2+ 3}\begin{pmatrix}1& 5\\ -1& -2\end{pmatrix}=-3$
$A_{31}=(-1)^{3+ 1}\begin{pmatrix}5& -4\\ 10& -9\end{pmatrix}=-5$
$A_{32}=(-1)^{3+ 2}\begin{pmatrix}1& -4\\ 2& -9\end{pmatrix}=1$
$A_{33}=(-1)^{3+ 3}\begin{pmatrix}1& 5\\ 2& 10\end{pmatrix}=0$

$\tilde{A}=^t\begin{pmatrix}A_{11}& A_{12}& A_{33}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{pmatrix}$
$=^t\begin{pmatrix}2& 5& 6\\ -2& -2& -3\\ -5& 1& 0\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}2& -2& -5\\ 5& -2& 1\\ 6& -3& 0\end{pmatrix}$
$\mid A\mid=3$ だから
$A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{\mid A\mid}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2& -2& -5\\ 5& -2& 1\\ 6& -3& 0\end{pmatrix}$