10　行列式１

10　行列式１

　決定する determine という動詞の派生語 determinant は，日本語では行列式と訳され，ｎ次正方行列が正則であるか否かを判定できる式である．行列式の数学的な定義はこみいったものであるが，広く用いられる便利な式である．
　以下において解説する行列式は，行列 A の n2 個の変数 aij のある n 次式で，その式の値が 0 であるか否かによって行列 A が正則であるか否かを判定することができる．

○　行列式を用いて正則を判定する例　（解説は後に述べる）

　n = 2 のとき，２次正方行列 $A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{pmatrix}$ の行列式を， $\mid\hspace{2}A\hspace{2}\mid$ あるいは $\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}$ で表わし，

$\mid\hspace{2}A\hspace{2}\mid =$

a11	a12
a21	a22

=a11a22−a12a21

と定義する．

　実際の数値で行列式の値を求めてみると，

$\begin{vmatrix}1& 2\\3& 4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2$
$\begin{vmatrix}1& 2\\ 1& 2 \end{vmatrix}=1\cdot 2-2\cdot 1=2-2=0$

となり，

$\begin{pmatrix}1& 2\\3& 4\end{pmatrix}$ は逆行列をもち，正則行列であるが，
$\begin{pmatrix}1& 2\\ 1& 2 \end{pmatrix}$ は逆行列をもたず，正則行列でないといえる．

○　一般のn次正方行列の行列式を求めるに当たって，まず，これと密接に関連する連立方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ の解の公式を作ることを考える．

行列 $A$ を列ベクトルの束で表わしたもの $A=[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$ について，次の条件を満たすような $A$ から $R$ への写像 $D:A=[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]\rightarrow R$ を考える．
(1)　n重線形性：各列について線形
　ア)　 $D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i}+\vec{a_i}\apos,\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$ $=D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$ $+ D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i}\apos,\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$ （ i = 1, 2, …, n ）
　イ)　 $D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\lambda\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$ $=\lambda D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$ （ i = 1, 2, …, n ）
(2)　交代性 ：第i列ベクトルと第j列ベクトルを入れ替えると符号が変わる
　　　　 $D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_j},\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$ $=-D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_j},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2}]$
(3)　正規性
　　　　 $D[E]=1$

なお，(2)から次の(2)’が導かれる：
(2)’　第 i 列ベクトルと第 j 列ベクトルが等しいとき，すなわち， $\vec{a_i}=\vec{a_j}$ のとき，
$D[\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_j},\hspace{2}\cdots\hspace{2}]=0$

　はじめに，以上の条件(1)(2)を満たす写像 $D$ が存在すれば，連立方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ の解の公式を作ることができることを示し，次にそのような写像の存在を示す．
　まず，連立方程式
$A\vec{x}=\vec{b}$
は
$x_1\vec{a_1}+ x_2\vec{a_2}+\cdots+ x_n\vec{a_n}=\vec{b}$
と書ける．
　いま $D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$ の第 i 列のところに，この $\vec{b}$ を代入すると，
$D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$
$D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}x_1\vec{a_1}+ x_2\vec{a_2}+\cdots+ x_n\vec{a_n},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$
(1)により
$=x_1D[\fbox{\vec{a_1}},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\fbox{\vec{a_1}},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$
$+ x_2D[\vec{a_1},\hspace{2}\fbox{\vec{a_2}},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\fbox{\vec{a_2}},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$
$+\cdots$
$+ x_i D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\fbox{\vec{a_i}},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$
$+\cdots$
$+ x_n D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\fbox{\vec{a_n}},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\fbox{\vec{a_n}}]$
(2)'により
$=x_i D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\fbox{\vec{a_i}},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]$
だから， $D[A]=D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_i},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\vec{a_n}]\ne 0$ ならば
$x_i=\frac{D[\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{b},\cdots,\vec{a_n}]}{D[\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_i},\cdots,\vec{a_n}]}$ (i = 1 〜 n ) … (*)

　次に，このような条件を満たす $D$ の存在を示す．

n=2 のとき， $\vec{a_1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\end{pmatrix},\hspace{2}\vec{a_2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix},$ $\vec{e_1}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\hspace{2}\vec{e_2}=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$ とおくと，
$\vec{a_1}=a_{11}\vec{e_1}+ a_{21}\vec{e_2}$
$\vec{a_2}=a_{12}\vec{e_1}+ a_{22}\vec{e_2}$
(1)(2)を満たす $D$ がどのようなものか検討すると，
$D[A]=D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]$
$=D[a_{11}\vec{e_1}+ a_{21}\vec{e_2},\hspace{2}a_{12}\vec{e_1}+ a_{22}\vec{e_2}]$
$=a_{11}a_{12}D[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_1}]+ a_{11}a_{22}D[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2}]$
$+ a_{21}a_{12}D[\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_1}]+ a_{21}a_{22}D[\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_2}]$
ここで(2)’により
$D[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_1}]=D[\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_2}]=0$
$D[\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_1}]=-D[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2}]$
だから
$D[A]=D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]$
$=(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})D[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2}]$
$D[\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2}]=c$ とおくと，これら(1)(2)の条件だけで(*)式の値は定まるが，特にc=1とすれば，(3)の正規性を満たす．

$D[E]=(1\cdot 1-0\cdot 0)c=c=1$ よりc=1
$D[A]=D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]$
$=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$
となる．

　このとき，連立方程式の解(*)は，
$x_1=\frac{D[\vec{b},\hspace{2}\vec{a_2}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]}=\frac{\begin{vmatrix}b_{1}& a_{12}\\b_{2}& a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}}$
$=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$
$x_2=\frac{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{b}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}& b_{1}\\a_{21}& b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}}$
$=\frac{a_{11}b_{2}-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$
となる．

n≧3のときも同様に定まることが知られている．

◇ここまでの要約◇
(1)　行列式
　n=2のとき，
$\mid\hspace{2}A\hspace{2}\mid=D[A]=D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]$

a11	a12
a21	a22

=a11a22−a12a21

　n=3のとき，「サリュの方法」と呼ばれる覚え方がある（sarrus［フランス人，人名］のカタカナ表記をサラスとすることもある）：
$\mid\hspace{2}A\hspace{2}\mid=D[A]=D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\vec{a_3}]$

=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21
−a31a22a13−a11a23a32−a21a12a33

　n ≧ 4 のとき，上のような簡単な覚え方はない．

(2)　連立方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ の解：「クラメルの公式」という．
　n=2 のとき，
$x_1=\frac{D[\vec{b},\hspace{2}\vec{a_2}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]}=\frac{\begin{vmatrix}b_{1}& a_{12}\\b_{2}& a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}}$
$=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$
$x_2=\frac{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{b}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2}]}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}& b_{1}\\a_{21}& b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}}$
$=\frac{a_{11}b_{2}-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$
　n=3のとき，
$x_1=\frac{D[\vec{b},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\vec{a_3}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\vec{a_3}]}$

$\begin{vmatrix}b_{1}& a_{12}& a_{13}\\b_{2}& a_{22}& a_{23}\\b_3& a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}\\a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}$

b1a22a33+a12a23b3+a13a32b2
−b3a22a13−b1a23a32−b2a12a33

a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21
−a31a22a13−a11a23a32−a21a12a33

$x_2=\frac{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{a_3}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\vec{a_3}]}$

$\begin{vmatrix}a_{11}& b_{1}& a_{13}\\a_{21}& b_{2}& a_{23}\\a_{31}& b_{3}& a_{33}\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}\\a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}$

以下同様に計算できる

$x_3=\frac{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\vec{b}]}{D[\vec{a_1},\hspace{2}\vec{a_2},\hspace{2}\vec{a_3}]}$

$\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& b_{1}\\a_{21}& a_{22}& b_{2}\\a_{31}& a_{32}& b_{3}\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}\\a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}$

以下同様に計算できる

例１
(1)　 $\begin{vmatrix}5& 3\\1& 2\end{vmatrix}=5\cdot 2-3\cdot 1=7$
(2)　 $\begin{vmatrix}x+ 1& x\\ x& x-1\end{vmatrix}=(x^2-1)-x^2=-1$
(3)　 $\begin{vmatrix}3& 0& 1\\ 4& 2& -1\\ 5& 0& 2\end{vmatrix}$
$=(3\cdot 2\cdot 2+ 0\cdot(-1)\cdot 5+ 1\cdot 0\cdot 4)$
$-(5\cdot 2\cdot 1+ 4\cdot 0\cdot 2+ 3\cdot 0\cdot(-1))$
$=(12+ 0+ 0)-(10+ 0+ 0)=2$
(4)　 $\begin{vmatrix}a-4& a-3& a-2\\ a-1& a& a+ 1\\ a+ 2& a+ 3& a+ 4\end{vmatrix}$
$=\{(a-4)a(a-4)+(a-3)(a+ 1)(a+ 2)$
$+(a-2)(a+ 3)(a-1)\}$
$-\{(a+ 2)a(a-2)+ (a-1)(a-3)(a+ 4)$
$+ (a-4)(a+ 3)(a+ 1)\}$
$=0$

例２
(1)　連立方程式 $\begin{pmatrix}2& 1\\ 3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ -3\end{pmatrix}$ をクラメルの公式で解くと，
$x_1=\frac{\begin{vmatrix}-1& 1\\ -3& 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2& 1\\ 3& 1\end{vmatrix}}=\frac{2}{-1}=-2$
$x_2=\frac{\begin{vmatrix}2& -1\\ 3& -3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2& 1\\ 3& 1\end{vmatrix}}=\frac{-3}{-1}=3$
(2)　連立方程式 $\begin{pmatrix}1& -1& 0\\ 1& 2& 2\\ 3& 1& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 9\\ 14\end{pmatrix}$ をクラメルの公式で解くと，
$x_1=\frac{\begin{vmatrix}1& -1& 0\\ 9& 2& 2\\ 14& 1& 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& -1& 0\\ 1& 2& 2\\ 3& 1& 3\end{vmatrix}}=\frac{3}{1}=3$

$x_2=\frac{\begin{vmatrix}1& 1& 0\\ 1& 9& 2\\3& 14& 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& -1& 0\\1& 2& 2\\3& 1& 3\end{vmatrix}}=\frac{2}{1}=2$

$x_3=\frac{\begin{vmatrix}1& -1& 1\\1& 2& 9\\3& 1& 14\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& -1& 0\\1& 2& 2\\3& 1& 3\end{vmatrix}}=\frac{1}{1}=1$

■確認テスト■　
（それぞれ，半角数字=1バイト文字で答えよ）
1.　　次の行列式の値を求めよ．

(1) 　 $\begin{vmatrix}1& -2\\ 2& 4\end{vmatrix}$ =　

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(2) 　 $\begin{vmatrix}2& 4\\ 3& 6\end{vmatrix}$ =　

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(3) 　 $\begin{vmatrix}1& 0& 1\\ 3& 2& 1\\ 5& -2& 0\end{vmatrix}$ =　

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(4)　 $\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& -2& 0\end{vmatrix}$ =　

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２．　次の空欄を埋めよ．
(1)　連立方程式 $\begin{pmatrix}3& 4\\ 2& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}$ をクラメルの公式で解くと，

$x_1=$

	4
	3

3	4
2	3

$x_2=$

3
2

3	4
2	3

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(2)　連立方程式 $\begin{pmatrix}7& 4\\ 3& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -4\end{pmatrix}$ をクラメルの公式で解くと，

$x_1=$

	4
	2

7	4
3	2

$x_2=$

7
3

7	4
3	2

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３．　次の連立方程式をクラメルの公式を用いて解け．
(1)　 $\begin{pmatrix}1& 0\\ 2& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 3\end{pmatrix}$ 　　x1=　，x2=　

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(2)　 $\begin{pmatrix}5& 3\\ 3& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 0\end{pmatrix}$ 　x1=　，x2=　

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(3) 　 $\begin{pmatrix}3& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\ 4\\ 14\end{pmatrix}$ 　x1=　，x2=　，x3=　

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(4) 　 $\begin{pmatrix}1& -1& 1\\ 2& 3& -1\\ 1& 1& -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -2\end{pmatrix}$ 　x1=　，x2=　，x3=　

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