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== 三角関数(2) ==

○ はじめに

 多項式の展開とは異なり,三角関数において( )をはずす変形は簡単ではない.例えば,次のような変形はできない


 このページでは,はじめに,sin(α+β)cos(α+β)などの (  )をはずす公式「三角関数の加法定理」を解説し,その応用として「2倍角公式」「3倍角公式」「積和の公式」「和積の公式」を解説する.

○ 三角関数の加法定理
[要点]
・・・(1)
・・・(2)
・・・(3)
・・・(4)
・・・(5)
・・・(6)
(1)(2)の証明・・・(以下の証明は第1象限の場合についてのものであるが,この公式は,αβが任意の角の場合でも成立する.)

 図において,AOB=αBOC=β,AO=1とするとき,点Ax座標がcos(α+β),y座標がsin(α+β)となる.
x=OE=OC−BD=cosα cosβsinαsinβ→(1)
y=AE=AD+DE=sinαcosβ+cosαsinβ→(2)


 公式(1)(2)は必ず言えるようにし,残りは短時間に導けるようにする.(何度も使ううちに(3)以下を覚えてしまっても構わない.)


(3)(4)の証明
(3)←

引き算は符号が逆の数の足し算と同じ


は偶関数:
は奇関数:
 …(3)証明終わり■
(4)←

引き算は符号が逆の数の足し算と同じ


は偶関数:
は奇関数:
 …(4)証明終わり■
(5)(6)の証明
(5)←

三角関数の相互関係:

(1)(2)の結果を使う

分母分子をで割る

 …(5)証明終わり■
(6)←

引き算は符号が逆の数の足し算と同じ

(5)の結果を使う

は奇関数:

 …(6)証明終わり■

 次の図において,下半分の桃色の三角形の辺の長さの比を,上半分の水色の三角形の比で表すと,偶関数・奇関数の性質が分かる.




即答問題    次の各式と等しいものを下から選べ.

 はじめに上の式を選び,続いて下の式を選べ.(合っていれば消える.)
sin(α+β)
cos(α+β)
sin(αβ)
cos(αβ)
cos(45°+30°)
cos(60°+45°)
sin(60°+ 45°)

○ 倍角公式
[要点]
・・・(7)
・・・(8)
・・・(9)
・・・(10)
・・・(11)
(証明)
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ・・・(1)
において,α=βとおくと,
sin2α=2sinα cosα →(7)

cos(α+β)=cosα cosβsinαsinβ・・・(2)
において,α=β とおくと,
cos2α=cos2αsin2α →(8)

(8)においてsin2α=1cos2αを代入すると,
cos2α=2cos2α1 →(9)

(8)においてcos2α=1sin2αを代入すると,
cos2α=12sin2α →(10)

tan(α+β)= ・・・(5)
において,α=β とおくと,
tan2α= →(11)

○ 半角公式
[要点]
・・・(12)
・・・(13)
・・・(14)
 半角公式は,次の形で示されることもある.±は,象限に応じて一方の符号を選ぶことを表わす.で表すのと,で表わすのとでは,対応関係は同じだから,好きな方を使えばよい.
・・・(12’)
・・・(13’)
・・・(14’)

・・・(12”)
・・・(13”)
・・・(14”)
(9)(10)を変形すれば→(12)(13)
(12)÷(13)により→(14)

○ 3倍角公式
 2倍角公式と加法定理を組み合わせると,次の公式ができる. 
[要点]
・・・(15)
・・・(16)
・・・(17)
(15)←
sin(2α+α)=sin2α cosα+cos2α sinα
=2sin
αcos2α+(1−2sin2α)sinα
=2sin
α ( 1−sin2α)+(1−2sin2α)sinα
=3sinα −4sin3α …(15)証明終わり■
(16)←
cos(2α+α)=cos2α cosαsin2α sinα
=(2cos2α−1 )cosα−2sin2α cosα
=(2cos2α−1 )cosα−2(1−cos2α) cosα
=4cos3α−3cosα …(16)証明終わり■
(17)←



 …(17)証明終わり■



即答問題   次の各式と等しいものを下から選べ.

 はじめに上の式を選び,続いて下の式を選べ.(合っていれば消える.)


sin  cos  sinα  cos2α

sin22.5°  cos105°

(※ ±は,いずれかの符号を選ぶことを表わす.)

2sinα cosα
sin2α−cos2α   cos2α−sin2α
    
 ± ±
± ±

 
 
 
 

○ 積和の公式(積を和に直す公式)

[要点]
sinα cosβ={sin(α+β)+sin β)}・・・(18)

cosα sinβ={sin(α+β)sinβ)}・・・(19)

cosα cosβ={cos(α+β)+cosβ)}・・・(20)

sinα sinβ= {cos(α+β)cosβ)}・・・(21)

○ 和積の公式(和を積に直す公式)

[要点]
sinA+ sinB = 2 sincos・・・(22)

sinAsinB = 2 cossin・・・(23)

cosA+ cosB = 2 coscos・・・(24)

cosAcosB=2 sinsin・・・(25)
(証明)
  sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ・・・(1)
+) sinβ)=sinα cosβcosα sinβ・・・(3)
--------------------------
sin(α+β)+sinβ)=2sinα cosβ→(18)


  sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ・・・(1)
) sinβ)=sinα cosβcosα sinβ・・・(3)
--------------------------
sin(α+β)sinβ)= 2cosα sinβ→(19)


  cos(α+β)=cosα cosβ - sinα sinβ・・・(2)
+) cosβ)=cosα cosβ+ sinα sinβ・・・(4)
--------------------------
cos(α+β)+cosβ)=2cosα cosβ→(20)


  cos(α+β)=cosα cosβ - sinα sinβ・・・(2)
) cosβ)=cosα cosβ+ sinα sinβ・・・(4)
--------------------------
cos(α+β)cosβ)= 2sinα sinβ→(21)

(18)〜(21)において,α+β=Aαβ=Bとおくと,
α=β=→(22)〜(25)
即答問題  次の各式と等しいものを右から選べ.

 はじめに左の式を選び,続いて右の式を選べ.(合っていれば消える.)


sinα cosβ cosα cosβ  sinα sinβ  cosαsinβ
cosA−cosB  sinA−sinB  cosA+cosB  sinA+sinB


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