不定積分

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== 不定積分 ==
○　はじめに
例
　x2を微分すると2xになるが，x2+1，x2+2，x2+3，…の微分も2xとなる．
　一般に，微分して2xとなる元の関数は，x2+C（Cは任意定数）と書ける．
　このとき，2xの不定積分は，x2+Cであるといい，

$\int 2xdx=x^2+ C$

と書く．
（任意定数が定まらないので，不定積分と呼ばれる．）

○　不定積分

　一般に，F’(x)=f(x)のとき，微分して関数f(x)となる元の関数F(x)をf(x)の原始関数といい，

∫ n f(x)dx=F(x)+C
をf(x)の不定積分という．
　すなわち，F’(x)=f(x)　⇔∫ nf(x)dx=F(x)+C

※高校の教科書では，F’(x)=f(x)のとき，F(x)をf(x)の（１つの）原始関数といい，任意定数Cを付けた式F(x)+Cを不定積分ということが多い．
※また，他方で ∫ n f(x)dx=F(x)+C

を原始関数または不定積分と定義して，原始関数と不定積分を全く同じ意味に用いる教科書もある．

例

(x3) = 3x2　⇔　∫ n3x2dx=x3+C

(sinx) =cosx　⇔　∫ ncosx dx=sinx+C

(ex) = ex　⇔　∫ nexdx=ex+C

○　不定積分の公式

　次の各微分公式から，不定積分の公式が得られる．（これらの公式は，不定積分を微分すれば証明できる．）

$\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int x^adx=\frac{x^{a+ 1}}{a+ 1}+ C$ …(1)

（ただし， $a\ne 0$ とする）

$\frac{d}{dx}(\log\mid x\mid)=\frac{1}{x}\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int \frac{1}{x}dx=\log\mid x\mid+ C$ …(2)

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int e^xdx=e^x+ C$ …(3)

$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\log a\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+ C$ …(4)

（ただし， $a\gt 0,\hspace{2}a\ne 1$ ）

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int \sin xdx=-\cos x+ C$ …(5)

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int \cos xdx=\sin x+ C$ …(6)

$\frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{1}{\cos^2 x}\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+ C$ …(7)

$\frac{d}{dx}(\cot x)=-\frac{1}{\sin^2 x}\hspace{3}\rightarrow\hspace{3}$

$\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+ C$ …(8)

$\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\hspace{1}\rightarrow\hspace{1}$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+ C$ …(9)

　
　また，F’(x)=f(x)，G’(x)=g(x)のとき次の公式が成り立つ．

$\frac{d}{dx}\{F(x)+ G(x)\}=f(x)+ g(x)\hspace{1}\rightarrow\hspace{1}$

$\int\{f(x)+ g(x)\}dx=F(x)+ G(x)+ C$ …(ⅰ)

$\frac{d}{dx}\{kF(x)\}=kf(x)\hspace{1}\rightarrow\hspace{1}$

$\int\{kf(x)\}dx=kF(x)+ C$ …(ⅱ)

例
(1)　無理関数の不定積分は有理指数（分数の指数）に直せば計算できる．
$\int\sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{\frac{1}{2}+ 1}x^{\frac{1}{2}+ 1}+ C$
$=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+ C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ C$
$\int\sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{\frac{2}{3}+ 1}x^{\frac{2}{3}+ 1}+ C$
$=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+ C=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ C=\frac{5}{3}x\sqrt[3]{x^2}+ C$
(2)　分数関数の不定積分では，部分分数分解の利用も考える．
$\int\frac{dx}{x(x+ 1)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+ 1}\right)dx$
$=\log\mid x\mid-\log\mid x+ 1\mid+ C=\log\left|\frac{x}{x+ 1}\right|+ C$
(3)　三角関数の積や累乗の不定積分では，積を和に直すことを考える．
$\int\sin x\cos 3xdx=\int\frac{1}{2}\{\sin 4x+\sin(-2x)\}dx$
$=\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 4x}{4}+\frac{\cos 2x}{2}\right)+ C$
$=\frac{\cos 2x}{4}-\frac{\cos 4x}{8}+ C$

短答問題

次の空欄を埋めよ．（半角数字で！）

(2)
$\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ = $\sqrt{x}$ +C

(3)
$\int\frac{dx}{x^2-1}$ = $\log\left|\frac{x-1}{x+ 1}\right|+ C$

(4)
$\int\frac{1}{x(x+ 2)}dx$ = $\log\mid\frac{x}{x+ 2}\mid+ C$

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