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== 近似式 ==
○　接線の方程式

　点(a, b) を通り，傾き m の直線の方程式は
y−b =m(x−a) ･･･(1)
だから，曲線 y =f(x) 上の点 (a, f(a) )における接線の方程式は，(1)において，m=f’(a)，b=f(a)とおいて
y−f(a) =f’(a)(x−a) ･･･(2)
もしくは
y=f(a)+f’(a)(x−a) ･･･(3)
　
　右図1のように，「接線のy座標」は，x=aのとき「曲線のy座標」と完全に一致するが，x がa に近い値をとるときは，その近似値となっている．

　すなわち，
f(x)≒f(a)+f’(a)(x−a) ･･･(4)
x−a=h とおくと，(4)は，
f(a+h)≒f(a)+f’(a)h ･･･(5)
と書くこともできる．
図1

○　１次の近似式
x がa に十分近い値をとるとき，
f(x)≒f(a)+f’(a)(x−a) ･･･(4)
h が0 に十分近いとき
f(a+h)≒f(a)+f’(a)h ･･･(5)
特に，a=0 のとき
f(x)≒f(0)+f’(0)x ･･･(6)
これらの式を関数 f(x)の１次の近似式という．
例
f(x)=(1+x)2 のとき
　　f’(x)=2(1+x)だから，f’(0)=2
　　x が0に十分近い値をとるとき
　　f(x)≒f(0)+f’(0)x=1+2x

正確な値，f(x)=(1+x)2=1+2x+x2 と比較すると，x=0.1 ならばx2=0.01 となり，その差はほとんど無視できるほど小さい．

例と答
(1)　x≒0 のとき，f(x)=sin x の１次の近似式を求めよ．
（答案）
f (0)=0
f’(x)=cosx　，f’(0)=1
だから
f(x)≒0+1x=x
(2)　x≒0 のとき，f(x)=の１次の近似式を求めよ．
（答案）
f(0)=1

f’(x)=(1+x)−　，f’(0)=
だから
f(x)≒1+x
(3)　１次の近似式を用いて，次の値の近似値を求めよ．
1.01−5
（答案）
f(x)=(1+x)−5 とおく，
f’(x)=−5(1+x)−6
x≒0 のとき，
f(x)≒f(0)+f’(0)x=1−5x
f(0.01)≒1−5×0.01=0.95

短答問題
(1)　x≒0 のとき，f(x)=log(1+x) の１次の近似式を求め，これを利用してlog 1.01 の近似値を求めよ．
log 1.01≒　
(2)
　x≒0 のとき，f(x)=tan x の１次の近似式を求め，これを利用してtanの近似値を求めよ．

ただし，π=3.1416 とし，結果は小数第3位まで求めよ．
tan≒　
(3)
　x≒0のとき，f(x)=の１次の近似式を求め，これを利用しての近似値を求めよ．（小数第3位まで）

≒　

○　２次の近似式

　(5)式はh が0 に十分近いときh の１次式で近似式を表わしたものとなっている
f(a+h)≒f(a)+f’(a)h ･･･(5)
　目的に応じてさらに詳しい近似式がほしいときは，hの2次式，3次式，･･･と次数を高くしていくとより精度の高い近似式が得られる．

x がaに十分近い値をとるとき，
f(x)≒f(a)+f’(a)(x−a)+ (x−a)2 ･･･(7)

hが0に十分近いとき
f(a+h)≒f(a)+f’(a)h+h2 ･･･(8)
a=0 のとき
f(x)≒f(0)+f’(0)x+x2 ･･･(9)

これらの式を関数 f(x) の2次の近似式という．
(解説)
h が0 に十分近いとき
f(a+h)≒α+βh+γh2=g(a+h)
とおくと，
β+2γh=g’(a+h)
2γ=g”(a+h)

h=0 のとき，f(a)=g(a)　･･･(*1)
h=0 のとき，f’(a)=g’(a)　･･･(*2)
h=0 のとき，f”(a)=g”(a)　･･･(*3)
を条件とすると，
(*1)より，α=f(a)
(*2)より，β=f’(a)

(*3)より，γ=

※　一般に，anxnをn 回微分すると　n! an となる．

○　テイラーの定理

x がaに十分近い値をとるとき，
f(x)=f(a)+f ’(a)(x−a)+ (x−a)2
+…+(x−a)n+Rn
( n次導関数を f(n)(x) で表わす．)
hが0 に十分近いとき f(a+h)=f(a)+f’(a)h+ h2
+…+hn+Rn
これをテイラーの定理という．( Rnは近似式と真の値との誤差 )
右辺を無限級数（数列の和の極限）にしたもの(このときRn→0 となる)をテイラー展開という．
f(x)=f(a)+f’(a)(x−a)+ (x−a)2
+…+ (x−a)n+···

f(a+h)=f(a)+f’(a)h+h2…+hn+···

テーラーの定理，テイラー展開において，特にa=0 の場合は，マクローリンの定理，マクローリン展開と呼ばれる．

f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+…+xn+Rn

f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+…+xn+···

※　テイラー展開，マクローリン展開ともに，「無限級数が収束するようなx またはh の値の範囲」を吟味する必要があるが，ここではh またはx が十分0 に近く，収束する範囲内にある場合を扱っている．

例と答
(1)　f(x)=ex のマクローリン展開を求めよ．
f’(x)=ex, f”(x)=ex, ···, f(n)(x)=ex（ y(n)はn次導関数）
f(0)=1, f’(0)=1, f”(0)=1, ···, f(n)(0)=1 だから
ex=1+x+++···++···
x=1を代入すると，
e=1+1+++···++···
(2)　f(x)=sin x のマクローリン展開を求めよ．
f’(x)=cos x, f”(x)=−sin x, ··· 　
f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0 ,−1, 0, ,···
（4回微分するごとに巡回する．）

sin x=x−+ −···
(3)　f(x)=cos x のマクローリン展開を求めよ．
f’(x)=−sin x,f”(x)=−cos x, ··· 　
f(0)=1, f’(0)=0, f”(0)=−1, 0, ···
（4回微分するごとに巡回する．）

cos x=1−+ −···
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