三角関数

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== 三角関数(1) == ○　弧度法

　小学校以来，角度の単位には円の一周を360°とする60分法に慣れているが，微分積分では，次に述べる弧度法の単位（ラジアン）を用いる．

　右の図１のように，２つの相似図形では対応する辺の長さの比が等しいので「弧の長さ／半径」の比は，図形の大きさによらず扇形の角度だけで決まる．

　そこで，弧度法では

θ = =

を角度の定義とする．（単位はラジアン．ただし，ラジアンは省略してよい．）

図１

　右の図2のように，角度を２倍，３倍，... とすると弧の長さも２倍，３倍，... となり，弧の長さと角度は比例するので，60分法の角度を弧度法の角度に直すには，円周の長さから比例計算で求めるとよい．　図3のように，360°=2 $\pi$ （ラジアン），180°= $\pi$ （ラジアン）を基本とする． $180^{\circ}\hspace{2}:\hspace{2}\alpha^{\circ}=\pi\hspace{2}:\hspace{2}\theta$ により，60分法の角度 $\alpha$ を弧度法の角度 $\theta$ に直す．

（幾つかの例）

60分法	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
弧度法	0

図2

図3

■即答問題■

　次の角度を弧度法に直せ．（[Start]を押して，選択肢から選べ）

［ Start ］［ Stop ］［ Next ］

○　一般角

　角度は，小学校以来，図4のように２直線の間の角を分度器で測り，向きは考えなかったが，これを負の角や360° （2 $\pi$ ラジアン）以上の角度に拡張する．

　図5のように，x軸の正の向きを始線とし，左回り（反時計回り）を正の向き，右回り（時計回り）を負の向きとする．このように，正の角・負の角，360°（2 $\pi$ ラジアン）以上に拡張した角度を一般角という．一般角を考えるときは，動径（実際の計算に当たっては円周上の点）が角度を表現する．

　角度を定めれば動径は定まるが，図6のように動径を定めても角度はただ１つには定まらず，１周の整数倍の差がある角度は，すべて同じ動径に対応する．

図4

図5

■即答問題■

　次の角度を表わす動径を，右図の円周上の点で示せ．

［ Start ］［ Stop ］［ Next ］

○　動径が表わす一般角

　角度を定めれば動径は定まるが，動径を定めても角度はだた一通りには定まらず，数回転した角度はすべて同じ動径に一致する．そこで，ある動径が表わす１つの角度をα とするとき，動径が表わす一般角θ は
$\theta=\alpha+ 2n\pi$ （ｎは整数）と書くことができる．

例　右の図6の動径OPの表わす一般角は
$\frac{\pi}{6}+ 2n\pi$ （ｎは整数）となる．

図6

○　三角関数の定義

　90° までの三角比は，「直角三角形」の辺の長さの比で定義される（図7）が，90° 以上の角度や負の角に対しては「直角三角形」が描けない．

　そこで，一般角の三角関数を定義するときに，動径を代表する円周上の点に対して，r：半径，x：x座標（符号付きの正負の数），y：y 座標（符号付きの正負の数）として，右の図8のように定義する．

　（ただし， $\tan\frac{\pi}{2},\hspace{3}\tan\frac{3\pi}{2}$ などは分母のxが0となるため定義されない．）

　筆算で解く問題のほとんどは，右図9の２つの直角三角形において，斜辺ｒの長さは正とし，他の２辺 x , y に符号を考えればできる．

図7

図8

図9

○　三角関数の符号

　半径r はつねに正なので，三角関数の符号は，x ，y の符号で決まる．そこで，動径のある象限が決まれば三角関数の符号は決まる．（右図参照）

例
　右図から，次の三角関数の値が分かる．

$\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$
$\tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$

$\sin(-\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(-\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\tan(-\frac{3\pi}{4})=1$

$\sin\frac{11\pi}{6}=-\frac{1}{2}$
$\cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan\frac{11\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

■即答問題■

　次の三角関数の値を右の選択肢から選べ．

　　　　[ 1問 / 全20問 ]

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○　三角関数の相互関係

　右の図10のような直角三角形においては，ピタゴラスの定理（三平方の定理）により，x² + y² = r²が成り立つ．
　x，yが負の場合にも，点（x，y）と原点との距離の公式から，x²+y² = r²がいえる．
　この式の両辺をr²で割ると + = 1

　したがって， $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ ･･･(1) が成り立つ．

　また，
$\tan\theta=\frac{y}{x},\hspace{5}\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{y}{x}$
だから
$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ･･･(2) が成り立つ．
　(1)の両辺を $\cos^2\theta,\hspace{5}\sin^2\theta$ で割ると，
$\tan^2\theta+ 1=\frac{1}{\cos^2\theta}$ ･･･(3)
$1+\frac{1}{\tan^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}$ ･･･(4) 　これらの公式により， $\sin\theta,\hspace{3}\cos\theta,\hspace{3}\tan\theta$ のうち幾つかが与えられたときに他の値を求めることができる．

図10

　※ $(\sin\theta)^2$ を $\sin^2\theta$ と書く． $\sin\theta^2$ とは書かない．
　（ $\sin\theta^2$ は $\sin(\theta^2)$ を表す．） $\cos^2\theta,\hspace{3}\tan^2\theta$ についても同様．この他， $\sin^3\theta,\hspace{3}\cos^4\theta$ ･･･の記号も用いられる．

例
(1)　 $\theta$ が第2象限の角で， $\sin\theta=\frac{1}{3}$ のとき， $\cos\theta$ の値を求めよ．

(答案)　 $(\frac{1}{3})^2+\cos^2\theta=1$ より $\cos^2\theta=\frac{8}{9}$
第2象限の角だから $\cos\theta\lt 0$
よって
$\cos\theta=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\sin\theta=-\frac{\sqrt{5}}{3},\hspace{3}\cos\theta=\frac{2}{3}$ のとき $\tan\theta$ の値を求めよ．

(答案) $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

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