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== 対数関数(2) ==
○逆関数のグラフ
例1
y=2x+1･･･(1)を x について解くと，
x=･･･(2)
x，y を入れ替えると
y=･･･(3)

このとき，(3)を(1)の逆関数という．
例2
y=ex･･･(1)を x について解くと，
x =loge y･･･(2)
x，y を入れ替えると
y=loge x･･･(3)
このとき，(3)を(1)の逆関数という．
一般に，
y=f(x)･･･(1)を x について解いたものを
x=f−1(y)･･･(2)と書く．
x，y を入れ替えると
y=f−1(x)･･･(3)
このとき，(3)を(1)の逆関数という．		 (1)と(2)は同じものであるが(2)と(3)は逆関数
(1)と(2)’は逆関数であるが(2)’と(3)は同じもの
（どちらが先でもよい）


※y=f(x)を変形して x=f −1(y)にしたら逆関数になるわけではない．上の(1)(2)は同じもの（いつでも元に戻せる．）
x，y を入れ替えたときに対応関係が逆になる．（当然のこと）

※x，y を入れ替えると縦と横が入れ替わるので，y=x の直線に関して対称移動したものになる．
○逆関数の性質

ある関数 y=f(x) と，その逆関数 y=f −1(x) とでは
(1)グラフはy=x の直線に関して対称になる．
(2)定義域と値域が入れ替わる．
(1)(2)は同じものなので
y=f(x)  (a≦x≦b) (α≦y≦β)･･･(1)のとき
x=f −1(y) (a≦x≦b) (α≦y≦β)･･･(2)
x，y を入れ替えると
y=f −1(x) (a≦y≦b) (α≦x≦β)･･･(3)

○対数関数のグラフ

対数関数 y=loga xは，指数関数 y=ax の逆関数となっているので，各々のグラフはy=x の直線に関して対称となっている．

また，y=ax(-∞<x<∞)(0<y<∞)の定義域と値域を入れ替えると，y=loga x(0<x<∞)(-∞<y<∞)

特に，y=axがつねに(0，1) を通るのに対応して，y=loga xはつねに(1，0) を通る．
［重要］
y=axの値域はy>0→ y=loga xの定義域はx>0
指数関数とその逆関数となっている対数関数のグラフを２，３示すと右図のとおり．

○対数関数の微分

底が e (自然対数の底 2.71828･･･)の対数は，自然対数と呼ばれ，底を省略してよい．log x は logex を表わす．

[要点]
y=log x(底はe)→y’=

（証明)
y=log xのとき，

y’==


== (2) =


（y=logax の微分は，底の変換をすれば上の公式でできる．)		 ［指数関数，対数関数の微分に使う重要な極限値］
次の3つの極限は，互いに同値であることが知られている．（証明略)

(1)=1

(2)=1

(3)(1+h)=e
例と答
次の関数を微分せよ．（各々の定義域は真数が正の数となる区間とする．)
(1)y=log3x→ y=log3+logx→y’=

（別解)
t =3xとおくと
y=log t
t =3x
-------------
合成関数微分法により

= =×3=×3=

(2)y=log10x→y = →y’=

(3)y=log(x2+x+1)
y=log t
t =x2+x+1
-------------
合成関数微分法により

= =×(2x+1)=


(4)y=log|x|
ア) x > 0のとき，y’=

イ) x < 0のとき，y=log(-x)
y=logt
t =-x
-------------
合成関数微分法により

= =×(-1)=×(−1)=

以上から，y=log|x|→y’=

ただし，グラフは次のようになっている．

■短答問題■
次の関数を微分せよ．（各々の定義域は真数が正の数となる区間とする．)
(1)y=log(2x+3)




(2)y=log2x y’=

(3)y=x logx
log x+
(4)y=(log x)2



(5)y =log (0 < x < 1)
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