積の微分法，商の微分法，合成関数の微分法

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=積の微分法，商の微分法，合成関数，逆関数の微分法= ○　はじめに　このページでは，個々の関数の微分が分かるときに，それらの関数の積，商，合成関数，逆関数で表わされる関数の微分を求める方法を学ぶ．	（必要となる場面） (1) y = x+1の微分はy’=1，y = x2+1の微分はy’=2x 　　･･それでは，y = (x+1)(x2+1) の微分は？ (2) y = xの微分はy’=1，y = x2 + 1の微分はy’=2x 　　･･それでは，y = の微分は？ (3) y = x3の微分はy’=3x2，y = x2 + 1の微分はy’=2x 　　･･それでは，y = (x2+ 1)3 の微分は？
○　積の微分法　関数 y =f(x)，y =g(x)の導関数が分かっているとき，これらの関数の積 y =f(x)g(x) の導関数を f(x)，g(x)，f’(x)，g’(x) で表わす公式を求める． ◇積の微分法の公式◇ $y=f(x)g(x)\rightarrow y\apos=f\apos(x)g(x)+ f(x)g\apos(x)$ ◇これを用いれば３個の積についても，公式を作ることができる． $y=fgh\rightarrow y\apos=f\apos gh+ fg\apos h+ fgh\apos$ （∵　(fgh)’=(fg)’h+(fg)h’=(f’g+fg’)h+(fg)h’ 　　　= f ’gh+fg’h+fgh’)	（証明） $p(x)=f(x)g(x)$ とおくと． $y\apos=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{p(x+ h)-p(x)}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)g(x+ h)-f(x)g(x)}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)g(x+ h)-f(x)g(x+ h)+ f(x)g(x+ h)-f(x)g(x)}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\{f(x+ h)-f(x)\}g(x+ h)+ f(x)\{g(x+ h)-g(x)\}}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\{\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}g(x+ h)+ f(x)\frac{g(x+ h)-g(x)}{h}\}$ $=f\apos(x)g(x)+ f(x)g\apos(x)$
例と答 (1)　y = x の微分はy’=1，y = x2 の微分はy’=2x 　　であるから，y = x･ x2 すなわち y = x3 の微分は　　y’=1･x2+x･2x = x2+2x2 = 3x2 (2)　y = x の微分はy’=1，y = x3 の微分はy’=3x2 　　であるから，y = x･x3 すなわち y = x4 の微分は　　y’=1･x3+x･3x2 = x3+3x3 = 4x3 *()**　一般に，1≦k≦nとなる整数kについて，　　y = xk についてy’=kxk−1 が成り立つならば，　　y = xk+1 の微分は　　y’=(x･xk)’=1･xk+x･kxk−1=xk+kxk=(k+1)xk 　　となるから，すべての正の整数nについて， (xn)’=nxn−1 ･･･[重要公式] の別の証明が得られたことになる．（前のページで示した証明は，二項展開を用いる証明）	(4)　y = (x2+1)(x3+1) の微分を求めよ． y’= 2x(x3+1)+ (x2+1)3x2 = 2x4+2x+ 3x4+3x2 = 5x4+3x2+2x yを展開してから行ってもよい．　y = x5+x3+x2+1 　y’=5x4+3x2+2x (5)　y = x(x+1)(x+2) の微分を求めよ． y’= (x+1)(x+2)+x(x+2)+x(x+1) = x2+3x+2 +x2+2x+x2+x = 3x2+6x+2 yを展開してから行ってもよい．　y = x3+3x2+2x 　y’=3x2+6x+2
■短答問題■ 　次の関数の導関数を求めよ． (1)　y =(2x2+3)(3x2+4) 　　　　=x3+x	(2)　y =(x+1)(x+2)(x+3) 　　　 =x2+x+

○　商の微分法　関数y=f(x)，y=g(x)の導関数が分かっているとき，これらの商 y= の導関数を f(x)，g(x)，f’(x)，g’(x) で表わす公式を求める． ◇商の微分法の公式◇ y =　→　y’=	（証明） $p(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ とおくと． $y\apos=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{p(x+ h)-p(x)}{h}$ $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$ ここで，次のように変形する $\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)}-\frac{f(x+ h)}{g(x)}$ $+\frac{f(x+ h)}{g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}$ $=f(x+ h)\frac{g(x)-g(x+ h)}{g(x+ h)g(x)}$ $+\frac{f(x+ h)-f(x)}{g(x)}$ $=-\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)g(x)}\{g(x+ h)-g(x)\}$ $+\frac{f(x+ h)-f(x)}{g(x)}$ これにより $y\apos=-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)g(x)}\cdot\frac{g(x+ h)-g(x)}{h}$ $+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$ $=-\frac{f(x)}{g(x)^2}\cdot g\apos(x)+\frac{f\apos(x)}{g(x)}=\frac{f\apos(x)g(x)-f(x)g\apos(x)}{g(x)^2}$
例と答　次の関数の導関数を求めよ． (1) 　y = 　（答案）　y’= 　　　　　= =	(2) 　y = 　（答案）　y’= 　　　　　= =
■短答問題■ 　次の関数の導関数を求めよ．（半角数字で記入すること） (1)　y = 　　 y’= = (2)　y = 　　y’= =	(3)　y = 　　y’= 　　　 = 　　　 = = (4)　y = 　　y’ = 　　　 = 　　　 =

○　合成関数の微分法　関数 y = f(g(x)) を y = f(t) と t = g(x) の合成関数と考えるとき， = 　３個の関数を合成した場合も，同様 =	(証明) はを略したものであるが，平均変化率は有限値÷有限値の，普通の分数であるので， = のように変形することができる．　次に Δx → 0 の極限を考えるとき，Δt → 0 となる(以下，不連続関数を用いた変換は考えない)ことに注意すると， = · だから =
例と答　次の関数の導関数を求めよ． (1)　y =(2x+3)⁴ y =t⁴ 　　t=2x+3 とおく -------- = 　　= 4t³･2 =8(2x+3)³　･･･（答）	(2)　y =(x²+x+1)³ y =t³ 　　t=x² +x+1 とおく -------- = = 3t²･(2x+1)=3(x²+x+1)²(2x+1)･･･（答）
■短答問題■ 　次の関数の導関数を求めよ．（空欄に半角数字を書き込むこと） (1)　y = (4x−3)⁵ =(4x−3)　　　･･･（答）	(2)　y = (x²−x+2)⁴ =(x²−x+2)(x−1)　　　･･･（答）

○　逆関数の微分法 xがyの関数として表わされているとき，yをxで微分するには，xをyで微分したものの逆数を取ればよい．(この場合，導関数がyの関数で表わされることもある．) = （ただし，≠0 ）	(証明) 　微分可能な関数では，Δx → 0のとき，Δy → 0だから， = = =
例と答 (1)　y= 　(0<x) y²=xだから = ==　･･･（答）	(2)　対数関数の微分は，次のように指数関数の微分を用いて計算することもできる． y=log x ⇔ x=ey = ==

○　陰関数の微分法
y=2x+1のようにyについて解かれた形になっているものを陽関数，x²+y²=1のようにx，yの関係式で示され，y について解かれた形になっていないものを陰関数という．
　陰関数で表わされているものを微分するには，右の例のように両辺をそのまま微分すればよい．
　yはxの関数と考えて微分する．

例
　x²+y²=1
　両辺をx で微分すると，

(x²+y²)=(1)

2x+(y²)=0

2x+2y=0

=−

（陰関数の微分は，yも用いて表わせばよい．）

■短答問題■

　次の関係式からを求めよ．（結果はy も用いて表わしてもよい．）
（空欄には半角英数字を書き込むこと）
(1)　x²+ xy+y²=1

(2)　2x²−y²=1

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