13 固有値この章では,行列は断らない限り正方行列を扱い,n次方程式がつねに解をもつように,数値は複素数までの範囲で考える.○ 固有値の定義
n次正方行列
例1 となり, また, ○ ○ 固有値と固有ベクトルを求めるには, n次正方行列 (書物によっては, また,これを0とおいたλのn次方程式 例2 (ただし,trace(A)は対角成分の和a+d) 一般に,n次正方行列Aに対しても次が成り立つ. chA(λ)=|λE−A|=λn−trace(A)λn−1+…+(−1)n|A| (ただし,trace(A)は対角成分の和a11+a22+…+ann) |
定理8
(証明)(→) したがって, このとき ○ 固有方程式chA(λ) =0はλのn次方程式なので,複素数の範囲で重複を含めてちょうどn個の解λ1,2,…,λnをもつ.(ガウスの定理,代数学の基本定理) ○ 以上から,固有値と固有ベクトルを求めるには,「固有方程式を解いて固有値を求め」「各々の固有値に対する同次方程式の自明でない解を固有ベクトルとすればよい.」 |
例3 行列 (解答) ア) (※ 拡大係数行列において(2)行−(1)行の変形を行うと, イ) 拡大係数行列において(2)行+(1)行×4の変形を行うと, 固有値 固有値 例4 行列 (解答) ア) 拡大係数行列において(1)行÷iの変形を行うと, (参考 拡大係数行列において(2)行−(1)行の変形を行うと イ) 拡大係数行列において(1)行÷ (−i) の変形を行うと, (参考 拡大係数行列において(2)行−(1)行の変形を行うと 固有値 固有値 (※この例のように,行列の成分がすべて実数の場合でも,固有値が虚数となり,固有ベクトルが複素数を成分とするベクトルとなることがある.) 例5 行列 (解答) を解くと, ア) 拡大係数行列において(2)行+(1)行×2,(3)行+(1)行×2の変形を行うと (3)行÷(−3)の変形を行うと となるから さらに イ) 拡大係数行列において行の変形を行うと・・・(途中経過略)・・・ となるから, ウ) 拡大係数行列において行の変形を行うと・・・(途中経過略)・・・ となるから, さらに 固有値 固有値 固有値 |
■確認テスト■ |