7 連立1次方程式2 ○ 以下においては,拡大係数行列の基本変形を用いて,具体的に連立1次方程式を解く方法をまとめてみる. 例1
の拡大係数行列 これは,
この例においては,未知数(x1,x2,x3)の個数は n=3,係数行列,拡大係数行列の階数(先頭の 1 の個数)はrank(A)=rank([A ○ この例のように,rank(A)=nとなるときは,連立1次方程式はただ1つの解が存在する. 例2 (A) 基本変形の結果,拡大係数行列が
を表わしており,x1,x2 のうちいずれか1つは任意定数とすることができる. 以下においては,先頭の 1 に対応しない未知数 (この例では x2)を任意定数 c とおくことにすれば,先頭の 1 に対応する未知数 (この例では x1,x3)について解けることとなる.
(B) これに対して,基本変形の結果,拡大係数行列が
第3式0x1+0x2+0x3=1はどんなx1,x2,x3を持ってきても成立しない. |
上記 (A)(B)は,係数行列のうち,すべての成分が0となる行(3行目)について右辺が0であるか否か(注の部分)の相違であるが,これは係数行列の階数(先頭の 1 の個数) rank(A) と拡大係数行列の階数(先頭の1の個数)rank([A すなわち,上記 (A)においては rank(A)=rank([A rank(A)=rank([A これに対して,rank (A) ≠ rank ([A
定理2
○ 例3(1) 方程式の個数がm個,未知数の個数がn個の連立1次方程式 (2) 方程式の個数がm個,未知数の個数がn個の連立1次方程式 未知数x1,x2,x3,x4,x5 の連立1次方程式において,拡大係数行列の基本形が [A 先頭の1に対応しない未知数をx4=c4,x5=c5とおくと,x1=−c4, x2=4−3c5,x3=5+c4 ,x4=c4,x5=c5となり, ベクトルを用いて, ○ 例4 未知数x1,x2の連立1次方程式において,拡大係数行列 の基本形が [A ○ 例5 未知数x1,x2の連立1次方程式において,拡大係数行列 の基本形が [A |
○ 連立1次方程式A 同次形の連立1次方程式は,つねに 同次形の連立1次方程式では,行基本変形によって右辺に1が登場する余地はなく,明らかにrank(A)=rank ([A
定理3
(1) 方程式の個数が m 個,未知数の個数が n 個の同次形連立1次方程式 ※ 参考 ○ 上の定理2(1)は,行列Aの列ベクトル とおくと, 「 「A ○ 上の定理2(2)は,行列 Aの列ベクトル すなわち, 「 「A |
○ 例6
1行と2行の入れ替え
2行+1行×(−2)
2行÷(−3)
1行+2行×(−2), 3行+2行×(−3)
3行÷5
1行+3行×(−3), 2行+3行×3
したがって,rank(A)=3 方程式は自明な解x1=x2=x3=0 をもつ. ○ 例7
2行+1行×(−2)
3行+1行×(−4)
2行と3行の入れ替え
2行÷3
1行+2行×(−2)
したがって,rank(A)=2となり,方程式は自明でない解をもつ. x3=c3とおくとx1=5c3,x2=−c3,x3=c3だから |
■確認テスト■
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