７　連立１次方程式２

○　以下においては，拡大係数行列の基本変形を用いて，具体的に連立１次方程式を解く方法をまとめてみる．

例１

	x1+x2+x3=3
	2x1+3x2+4x3=−1
	3x1+5x2+8x3=2

の拡大係数行列 $\begin{pmatrix}1& 1& 1& 3\\ 2& 3& 4& -1\\ 3& 5& 8& 2\end{pmatrix}$ を基本変形すると， $\begin{pmatrix}1& 0& 0& 8\\ 0& 1& 0& 11\\ 0& 0& 1& -11\end{pmatrix}$ となるが，
これは，

	x1=8
	x2=11
	x3=−11

を表わしている．
この例においては，未知数（x1，x2，x3）の個数は n=3，係数行列，拡大係数行列の階数（先頭の 1 の個数）はrank(A)=rank([A $\vec{b}$ ])=3となっている．
○　この例のように，rank(A)=nとなるときは，連立１次方程式はただ1つの解が存在する．

例２
(A)　基本変形の結果，拡大係数行列が $\begin{pmatrix}1& 2& 0& 0& 4\\ 0& 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{pmatrix}$ となるようなときは，

	x1+2x2 = 4
	x3=3
	0=0 …注

を表わしており，x1，x2 のうちいずれか１つは任意定数とすることができる．

以下においては，先頭の 1 に対応しない未知数（この例では x2）を任意定数 c とおくことにすれば，先頭の 1 に対応する未知数（この例では x1，x3）について解けることとなる．

	x1=4−2c
	x2=c
	x3=3
	(0=0は成立する)

(B)　これに対して，基本変形の結果，拡大係数行列が

$\begin{pmatrix}1& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$ となるようなときは，

	x1+2x2 　= 0
	x3=0
	0=1…注

を表わしており，
第3式0x1+0x2+0x3=1はどんなx1，x2，x3を持ってきても成立しない．

定理２
(1)　方程式の個数がm個，未知数の個数がn個の連立１次方程式 A $\vec{x}$ = $\vec{b}$ が解をもつための必要十分条件は rank(A)=rank([A $\vec{b}$ ]) このとき，n−rank(A)個の任意定数を含む解が存在する．
(2)　方程式の個数がm個，未知数の個数がn個の連立１次方程式 A $\vec{x}$ = $\vec{b}$ がただ1つの解をもつための必要十分条件は rank(A)=rank([A $\vec{b}$ ])=n

定理３
(1)　方程式の個数が m 個，未知数の個数が n 個の同次形連立１次方程式 A $\vec{x}$ = $\vec{0}$ が自明な解のみをもつための必要十分条件は rank (A)=n (2)　方程式の個数が m 個，未知数の個数が n 個の同次形連立１次方程式 A $\vec{x}$ = $\vec{0}$ は m ＜ n のとき自明でない解をもつ．

1行と2行の入れ替え

1行+2行×(−2), 3行+2行×(−3)

1行+3行×(−3), 2行+3行×3

2行と3行の入れ替え

　次の空欄を埋めよ．（半角数字=1バイト文字を記入）
(1)　連立方程式

	3x1+2x2=1
	x1+3x2=5

　

の拡大係数行列の基本形を求める

1行と2行の入れ替え

$A=\begin{pmatrix}3& 2& 1\\ 1& 3& 5\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix} 1& 3& 5\\3& 2& 1\end{pmatrix}$

2行+1行×(−3)

$\Rightarrow$

$\Bigl($

1	3	5
	−7	−14

$\Bigr)$
　

2行÷(−7)

$\Rightarrow$

$\Bigl($

1	3	5
0		2

$\Bigr)$
　

1行+2行×(−3)

$\Rightarrow$

$\Bigl($

1		−1
0	1	2

$\Bigr)$ 　

したがって，未知数の個数= ，係数行列の階数=拡大係数行列の階数= となり，方程式はただ1つの解をもつ．

$\Bigl($

$x_1$

$x_2$

$\Bigr)=$ $\Bigl($

$\Bigr)$

採点するやり直す

(2)　連立方程式

	x1+3x2−2x3=2
	2x1+5x2+x3=4

　

の拡大係数行列の基本形を求める

2行+1行×(−2)

$A=\begin{pmatrix}1& 3& -2& 2\\ 2& 5& 1& 4\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}1& 3& -2& 2\\ 0& -1& 5& 0\end{pmatrix}$

2行×(−1)

$\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}1& 0& 13& 2\\ 0& 1& -5& 0\end{pmatrix}$
　したがって，未知数の個数=，係数行列の階数=拡大係数行列の階数= となり，方程式は任意定数1つを含む解をもつ．

　x3=c3とおくと，x1=2−13c3，x2=5c3，x3=c3となるから

$\Biggl($

$x_1$

$x_2$

$x_3$

$\Biggr)=$ $\Biggl($

$\Biggr)+$ $c_3\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

(3)　連立方程式

	x1+3x2=−1
	2x1−x2=5
	x1+x2 =0

　の拡大係数行列を基本形に直すと， $\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$ となる．
　このとき，係数行列の階数は，拡大係数行列の階数はとなるから，この方程式の解は存在しない．

採点するやり直す

(4)　次の同次形連立１次方程式が自明でない解をもつように定数aの値を定めるには，

	x1+2x2=0
	ax1+6x2=0

　の係数行列 $\begin{pmatrix}1& 2\\ a& 6\end{pmatrix}$ の基本形が $\begin{pmatrix}1& 2\\ 0& 6-2a\end{pmatrix}$ となることから，
未知数の個数= に対して，係数行列の階数= となればよいから，6−2a= ，a=

採点するやり直す

(5)　同次形連立１次方程式

	x1+x2+x3=0
	2x1+x2−x3=0
	−x1 　　+ 2x3 =0

の係数行列を基本形に直すと， $\begin{pmatrix}1& 0& -2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}$ となる．
　この同次形連立１次方程式の自明でない解は，

$\Biggl($

$x_1$

$x_2$

$x_3$

$\Biggr)=c_3\Biggl($

$\Biggr)$

　と書ける．

採点するやり直す

(6)　連立１次方程式

$x_1\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}+ x_2\begin{pmatrix}0\\ -3\\ 0\end{pmatrix}+ x_3\begin{pmatrix}2\\ -5\\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\ 10\\ -20\end{pmatrix}$ の解は，

$\Biggl($

$x_1$

$x_2$

$x_3$

$\Biggr)=\Biggl($

$\Biggr)$

　と書ける．

採点するやり直す