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２　ベクトルと基本概念２

○　前節でベクトルの１次結合を学んだ．ここでは，１次結合に関わる重要な概念を解説する．
○　ベクトルの１次結合がになるのが特別な場合に限られるとき，すなわち，
「となるのが，のときに限られるとき」，ベクトルは１次独立であるという．１次独立でないとき，１次従属であるという．
【１次独立の定義 】
「ならば」
が成り立つとき，は１次独立であるという．
※「」が，どんな についても成立することは自明の理であるが，ここでは
「 」すなわち，
「」となるのが，「」の場合だけとなるの組に注目している．
※「p⇒q」は，その対偶「qでない⇒pでない」と真偽が一致するから，上に述べた１次独立の定義は，次のように言い換えることができる．
「が１つでも0でなければにはならない」
　例えば，であるのにとなるときは，両辺をで割って移項すれば
となり，が他のの１次結合で表せることとなる．
このようなは１次独立ではない．すなわち，１次従属である．
以下についても同様だから，一般に，いずれか１つのベクトルが他のベクトルの１次結合で表わされる組を１次従属，どのベクトルも他のベクトルの１次結合で表現できないときを１次独立と定義していることになる．(*)

例1
(1) =(1, 0)，=(0, 1) は１次独立である．何故なら，のとき，
より，が成り立つからである．
「⇒」や「ならば」という用語をクールに聞き流さないことが大切．変形していくと，になるとは，「解があれば必ずこれを満たすはずである」ということ，つまり，「これ以外にはない」という意味に理解することが重要．
(2) =(1, 2) ，=(2, 3)は１次独立である．何故なら，のとき，
より，は連立方程式

の解となり，が成り立つからである．（解があれば，になるとは，他にはないということ．）

(3) =(1, 2) ，=(2, 4)は１次従属である．何故なら，のとき，
より，は連立方程式

の解となり，を満たすは0でなくともすべて解となる．
※　「１次独立・１次従属は，の連立方程式が自明解 以外の解をもつかどうかで判断できる」が，この問題については，次のように即答することもできる．
となっている（がで表わされる）から，これらは１次従属である．(*↑)

(4) =(1, 0)，=(0, 1), =(2, 3)は１次従属である．何故なら，となってがで表せるからである．
　連立方程式で調べると次のようになる．

ならば

よりは連立方程式

の解となり，を満たすは解となる．（自明解以外に解が存在する．）
【 要点 】
○ ベクトルについて，が自明解以外の解をもてばこれらのは１次従属である．自明解のみをもつときは１次独立である．
○ ベクトルについて，いずれか１つのベクトルが他のベクトルの１次結合で表わされるとき，これらのは１次従属である．どのベクトルも他のベクトルの１次結合で表現できないときは１次独立である．」

○　２次元の数ベクトルは，で表わされる．このとき，の２つのベクトルを用いれば，どのようなベクトルでもの１次結合で表せる．


　をR2の標準基底といい，R2はによって「生成される」「張られる」という．
○　３次元の数ベクトルは，で表わされる．このとき，の３つのベクトルを用いれば，どのようなベクトルでもの１次結合で表せる．



　をR3の標準基底といい，R3はによって「生成される」「張られる」という．

○　ベクトルの組が R2 や R3 の部分集合を生成することがある．
例2
の１次結合の全体

は，の形のベクトルを表わし，R3を生成するわけではない．しかし，Lの任意の要素について，の１次結合はLの要素となる．

○　上の例のように，Rnの部分集合Wの任意の要素の１次結合もまたWの要素となるとき，Wはによって生成される（張られる）部分ベクトル空間であるという．
•WがRnの部分集合で
（１次結合について閉じている）
が成り立つとき，WをRnの部分ベクトル空間という．
次のように定義してもよい．
•WがRnの部分集合で
（和とスカラー倍について閉じている）
が成り立つとき，WをRnの部分ベクトル空間という．
例3
(1) の１次結合の全体
は，R3の部分ベクトル空間で一つの平面を表わしている．
　実際，ならば， と表せるから，



なお，一般には，の内分点（外分点）の定数倍だから，ベクトルと同一平面上にある．(のときも結果は正しい．)
　上の場合，Hはで張られる部分ベクトル空間と呼ばれ，と書く．
(2)　上の例(1)において，，とおくと，
， となるから，で表わされるベクトルはでも表わされ，Hはで張られる．
(1)(2)の例で，の組やの組はHの基底といい，その個数(=2)をHの次元という．

■確認テスト■　
には半角数字で答え，には漢字で答えよ
(1) のとき，が１次独立かどうかを調べたい．次の空欄を埋めよ．
λ1+λ2=のとき，λ1(1, 1)+λ2(2, 3)=(0, 0)より，λ1，λ2は次の連立方程式の解となる．
　　　　λ1 + λ2 = 0
　　　　λ1 + λ2 = 0
これを解くと，λ1 = λ2 = となるから，
は１次である．　
(2) =(1, 1, −1)，=(1, 2, 1)，=(2, 3, 0)のとき，が成り立つ．このとき，は１次である．
(3)　次の空欄を埋めて，R2の任意のベクトルが，ベクトルの１次結合で表わされることを示せ．
　「となるλ1，λ2が求まればよい．x, yを与えられた数，λ1，λ2を未知数として，次の連立方程式を解く．
　　　　λ1+λ2=x　… (A)
　　　　λ1−λ2=y　… (B)
　{(A)+(B)}÷2よりλ1=，
　{(A)−(B)}÷2よりλ2=となるから，

　　任意のベクトルは，ベクトルの１次結合で表わされる．」 　
(4) =(0, 1, −1)，=(1, −1, 1)とするとき，=(1, 0, k)がで張られる部分ベクトル空間のベクトルとなるように定数kの値を定めよ．(空欄を埋めよ．)
が成立するようにkの値を定める．
(1, 0, k)=λ1(0, 1, −2)+λ2(1, −1, 1)より
　　　　1=λ2
　　　　0=λ1−λ2
　　　　k=−2λ1+λ2を解くと
λ1=，λ2=だからk= 　
(5) を基底とする部分ベクトル空間において，ベクトルがを用いて，と表わされるとき，λ1，λ2を基底に関するの"成分"と呼ぶことにする．例えば，=(1, 0, 0)，=(0, 1, 0)を基底とする部分ベクトル空間において，ベクトル=(x, y, 0) は，と表わされるから，に関するの"成分"はx, yとなる．
　ベクトル=(1, 1, 0)，=(1, −1, 0)を基底とする部分ベクトル空間において，基底に関するベクトル=(5, 3, 0)の"成分"を求めよ．（空欄を埋めよ．）
「となるλ1，λ2を求める．
　　　　5=λ1+λ2
　　　　3=λ1−λ2　を解いて
λ1=，λ2=が求める"成分"となる． 」 　
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