１　ベクトルと基本概念１

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１　ベクトルと基本概念１

○　ｎ個の数x1, x2, …, xn を順序をつけて横に並べたもの：

(x1, x2, …, xn)

をｎ次元数ベクトルという．数を横に並べているので，横ベクトルまたは行ベクトルともいう．
　個々の数x1, x2, …, xnはベクトルの成分と呼ばれる．

○　数を縦に並べたもの

$\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{matrix}\right]$

を縦ベクトルまたは列ベクトルという．

例1　ある人の今日の朝食代が200円，昼食代が300円，夕食代が500円のとき，この人の今日の食費は，ベクトル

(200, 300, 500)

で表わすことができる．このとき，１番目の数字を朝食代，２番目の数字を昼食代，…としているから，

(300, 200, 500)

とすれば，朝食代と昼食代が入れ替わってしまう．

※　ベクトルのように，数字の並び方を変えれば内容が変わるものを表わすとき，数学では丸い括弧 ( , ) を使う．
※　高校の数学では，ベクトルは n=2, 3 次元のときだけを扱い，図形と結びつけて理解したが，以下においてベクトルは「成分の順序に重要な意味のある情報」と理解すればよく，４次元以上の図示できない場合も取り扱う．また，以下の内容を理解するには，高校でベクトルを学んでいなくても差し支えない．

○　ベクトルは， $\vec{v}$ やvのように矢印の付いた文字や太文字で表わされる．
○　ベクトルには，２つの演算：和とスカラー倍が定義され，それらもベクトルになる．

$\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ がｎ次元の実数ベクトルであるとき， $\vec{u}$ =(u1, u2, …, un)， $\vec{v}$ =(v1, v2, …, vn)とおくと，
$\vec{u}+\vec{v},\hspace{4}\lambda\vec{u}$ もｎ次元の実数ベクトルになり，
$\vec{u}+\vec{v}$ =(u1, u2, …, un)+(v1, v2, …, vn)=(u1+v1, u2+v2, …, un+vn)
$\lambda\vec{u}$ =λ(u1, u2, …, un)=(λu1, λu2, …, λun)である．

よく使うギリシャ文字の読み方

よく使うギリシャ文字の「小文字」
α　…　アルファ
β　…　ベータ
γ　…　ガンマ
λ　…　ラムダ
μ　…　ミュー
π　…　パイ
アルファベットのA 〜 Z に対応している．他にもあるがよく使うものから覚えればよい．
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例2　夫の今日の朝食代が200円，昼食代が 300円，夕食代が 500円，妻の今日の朝食代が250円，昼食代が150円，夕食代が550円のとき，
　夫の今日の食費を表わすベクトルは，

$\vec{u}$ =(200, 300, 500)

　妻の今日の食費を表わすベクトルは，

$\vec{v}$ =(250, 150, 550)

　この二人の今日の食費を表わすベクトルは，

$\vec{u}+ \vec{v}$ =(200+250, 300+150, 500+550)=(450, 450, 1050)となる．

　また，夫の30日間の食費を表わすベクトルは，

$30\vec{u}$ =30(200, 300, 500)=(6000, 9000, 15000)となる．

※　上に述べたことは，ベクトル空間という数学用語を用いて，次のように表わすことができる。
「すべてのｎ次元の実数ベクトルがつくる集合をベクトル空間といいRnで表わす．このとき，Rnのどんな要素をもってきても，それらの和とスカラー倍は，Rnの要素となる．」

$\vec{u},\hspace{3}\vec{v}\in R^n$ ならば $\vec{u}+\vec{v}\in R^n,\hspace{3}\lambda\vec{u}\in R^n$

○　ベクトルの和およびスカラー倍については，次の関係が成り立つ．(ベクトル空間の任意の要素 $\vec{u},\hspace{3}\vec{v},\hspace{3}\vec{w}\in R^n$ および実数 $\lambda\in R$ について，次の関係が成り立つ．これらはベクトル空間の公理と呼ばれるが，ここでは深入りしない．)

$\vec{u},\hspace{3}\vec{v},\hspace{3}\vec{w}\in R^n$ および実数 $\lambda,\hspace{3}\mu\in R$ について

◇文字式の和と類似の性質◇
　(1)　任意の $\vec{u},\hspace{3}\vec{v}$ に対して $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$

…足されるベクトル，足すベクトルを入れ替えても結果は変わらない．

　(2)　任意の $\vec{u},\hspace{3}\vec{v},\hspace{3}\vec{w}$ に対して $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$

…３つ(以上)のベクトルの和は，どの順に和を求めても結果は変わらない．
どちらの意味に解釈されても同じものとなるので， $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ と書くことができる．

　(3)　任意の $\vec{u}$ に対して次が成り立つようなベクトル $\vec{0}$ が存在する． $\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$

…１つのベクトル空間では， $\vec{0}$ はすべてのベクトル $\vec{u}$ に共通なものがただ１つ存在する．

　(4)　任意の $\vec{u}$ に対してそれぞれ $\vec{u}+(-\vec{u})=(-\vec{u})+\vec{u}=\vec{0}$ となるベクトル $-\vec{u}$ が存在する．

…逆ベクトル $-\vec{u}$ はそれぞれのベクトル $\vec{u}$ に対応して１つずつある．
…ベクトルの和 $\vec{u}+(-\vec{v})$ は $\vec{u}-\vec{v}$ と書いてよい．

◇文字式の定数倍と類似の性質◇
　(5)　任意の $\vec{u}$ に対して $1\vec{u}=\vec{u}$
　(6)　任意の $\lambda,\hspace{2}\mu,\hspace{2}\vec{u}$ に対して $\lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}$
　(7)　任意の $\lambda,\hspace{2}\mu,\hspace{2}\vec{u}$ に対して $(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$
　(8)　任意の $\lambda,\hspace{2}\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ に対して $\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$

○　ベクトル $\vec{u_1},\hspace{2}\vec{u_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\vec{u_n}$ のスカラー倍の和
$\vec{u}=\lambda_1\vec{u_1}+\lambda_2\vec{u_2}+\cdots\hspace{2}+\lambda_n\vec{u_n}$
　　をベクトル $\vec{u_1},\hspace{2}\vec{u_2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\vec{u_n}$ の１次結合という．

例3
(1) $\vec{u_1}=(1,\hspace{1}2),\hspace{3}\vec{u_2}=(2,\hspace{1}3)$ のとき，

$\vec{u_1}$ と $\vec{u_2}$ が平行でない場合の例を示しています

$\vec{u_3}=(4,\hspace{1}7)$ は $\vec{u_3}=2\vec{u_1}+ 1\vec{u_2}$ のように $\vec{u_1},\hspace{3}\vec{u_2}$ の１次結合で表わされる．
(2) $\vec{u_1}=(1,\hspace{1}2),\hspace{3}\vec{u_2}=(2,\hspace{1}4)$ のとき，

$\vec{u_1}$ と $\vec{u_2}$ が平行である場合の例を示しています

なぜならば， $\vec{u_1}$ と $\vec{u_2}$ のある１次結合に対して $\vec{u_3}=\lambda_1\vec{u_1}+\lambda_2\vec{u_2}$ が成り立つとすると，

$\{\begin{matrix}\lambda_1+ 2\lambda_2=4\\2\lambda_1+ 4\lambda_2=7\end{matrix}$

となって，

$\{\begin{matrix}2\lambda_1+ 4\lambda_2=8\\2\lambda_1+ 4\lambda_2=7\end{matrix}$

を満たす $\lambda_1,\hspace{2}\lambda_2$ が存在することになり，矛盾となるからである．

○　ベクトル $\vec{x}$ =(x1, x2, …, xn)と $\vec{y}$ =(y1, y2, …, yn)の内積 $\vec{x}\cdot\vec{y}$ を次の式で定義する．
$\vec{x}\cdot\vec{y}$ =x1y1+x2y2+…+xnyn
※　ベクトルの内積はベクトルになるのではなく，単なる数になることに注意．

例4
(1) りんご，かき，みかん１個の価格が各々150円，100円，80円であるとき，これらの果物の価格はベクトル

$\vec{x}$ =(150, 100, 80)

で表わされる．また，りんご，かき，みかんを各々3個，4個，5個セットにした贈り物の果物の個数は，ベクトル

$\vec{y}$ =(3, 4, 5)

で表わされる．このとき，贈り物１セットの合計価格は

$\vec{x}\cdot\vec{y}$ =150・3+100・4+80・5=1250 (円)

で表せる．
(2) ある人の１日当りの朝食代が 300円，昼食代が 500円，夕食代が 800円のとき，この人の１日の食費は，ベクトル

$\vec{x}$ =(300, 500, 800)

で表わすことができる．この人が１週間に朝食，昼食，夕食を各々5回，6回，7回食べたとき，この人の１週間の食事回数は，ベクトル

$\vec{y}$ =(5, 6, 7)

で表わされる．このとき，この人の１週間の食事代金は，

$\vec{x}\cdot\vec{y}$ =300・5+500・6+800・7=10100 (円)