1 ベクトルと基本概念1 ○ n個の数x1, x2, …, xn を順序をつけて横に並べたもの:
(x1, x2, …, xn)
をn次元数ベクトルという.数を横に並べているので,横ベクトルまたは行ベクトルともいう.個々の数x1, x2, …, xnはベクトルの成分と呼ばれる. ○ 数を縦に並べたもの
例1 ある人の今日の朝食代が200円,昼食代が300円,夕食代が500円のとき,この人の今日の食費は,ベクトル
※ ベクトルのように,数字の並び方を変えれば内容が変わるものを表わすとき,数学では丸い括弧 ( , ) を使う.(200, 300, 500)
で表わすことができる.このとき,1番目の数字を朝食代,2番目の数字を昼食代,…としているから,(300, 200, 500)
とすれば,朝食代と昼食代が入れ替わってしまう.※ 高校の数学では,ベクトルは n=2, 3 次元のときだけを扱い,図形と結びつけて理解したが,以下においてベクトルは「成分の順序に重要な意味のある情報」と理解すればよく,4次元以上の図示できない場合も取り扱う.また,以下の内容を理解するには,高校でベクトルを学んでいなくても差し支えない. |
○ ベクトルは, ○ ベクトルには,2つの演算:和とスカラー倍が定義され,それらもベクトルになる. ![]()
よく使うギリシャ文字の「小文字」
α … アルファ β … ベータ γ … ガンマ λ … ラムダ μ … ミュー π … パイ アルファベットのA 〜 Z に対応している.他にもあるがよく使うものから覚えればよい. → 閉じる ![]() 例2 夫の今日の朝食代が200円,昼食代が 300円,夕食代が 500円,妻の今日の朝食代が250円,昼食代が150円,夕食代が550円のとき, 夫の今日の食費を表わすベクトルは, |
※ 上に述べたことは,ベクトル空間という数学用語を用いて,次のように表わすことができる。 「すべてのn次元の実数ベクトルがつくる集合をベクトル空間といいRnで表わす.このとき,Rnのどんな要素をもってきても,それらの和とスカラー倍は,Rnの要素となる.」 ○ ベクトルの和およびスカラー倍については,次の関係が成り立つ.(ベクトル空間の任意の要素 ◇文字式の和と類似の性質◇ (1) 任意の
…足されるベクトル,足すベクトルを入れ替えても結果は変わらない.
(2) 任意の…3つ(以上)のベクトルの和は,どの順に和を求めても結果は変わらない.
(3) 任意のどちらの意味に解釈されても同じものとなるので, …1つのベクトル空間では,
(4) 任意の…逆ベクトル
◇文字式の定数倍と類似の性質◇…ベクトルの和 (5) 任意の (6) 任意の (7) 任意の (8) 任意の |
○ ベクトル をベクトル
例3
(1) (2) |
○ ベクトル ※ ベクトルの内積はベクトルになるのではなく,単なる数になることに注意.
例4
(1) りんご,かき,みかん1個の価格が各々150円,100円,80円であるとき,これらの果物の価格はベクトル (2) ある人の1日当りの朝食代が 300円,昼食代が 500円,夕食代が 800円のとき,この人の1日の食費は,ベクトル |
■確認テスト■ 次の計算をせよ.(入力は半角数字で) |