９　正則行列と逆行列

○　n次正方行列 $A$ について $A$ $B$ = $B$ $A$ = $E_n$ を満たす行列 $B$ を $A$ の逆行列(inverse matrix) といいA−1で表わす．すべての行列が逆行列をもつわけではない．逆行列をもつ行列は正則(regular)であるという．

$A$

逆行列

$A^{-1}$

$A$

$A^{-1}$

$A$

$E_n$

$A$

$B$

$E_n$

$B$

$A$

$E_n$

$A$

$B$

$E_n$

$B$

$A^{-1}$

正則行列 $A$ の逆行列はただ１つである．

$B$

$C$

$A$

( $A$ $B$ = ) $B$ $A$ = $E_n$ 　… (*1)
$A$ $C$ =( $C$ $A$ )= $E_n$ 　… (*2)

$C$

$B$ $A$ $C$ = $C$

$A$

$C$

$E_n$

$B$ = $C$

基本行列は正則である．

$P=\begin{pmatrix}1&\cdots& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\0& \cdots& c&\cdots& 0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\0& \cdots& 0&\cdots& 1\end{pmatrix}$

(c≠0) については，

$\begin{pmatrix}1&\cdots& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\0& \cdots& c&\cdots& 0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\0& \cdots& 0&\cdots& 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&\cdots& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\0& \cdots&\frac{1}{c}&\cdots& 0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\0& \cdots& 0&\cdots& 1\end{pmatrix}=E_n$

$\begin{pmatrix}1&\cdots& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\0& \cdots&\frac{1}{c}&\cdots& 0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\0& \cdots& 0&\cdots& 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&\cdots& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\0& \cdots& c&\cdots& 0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\0& \cdots& 0&\cdots& 1\end{pmatrix}=E_n$

$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&\cdots& 0&\cdots& 0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\0& \cdots&\frac{1}{c}&\cdots& 0\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\0& \cdots& 0&\cdots& 1\end{pmatrix}$

$Q=$

$\Bigl($

1	0	…	…	…	…	0
0	1	0	…	…	…	0
:		1				0
:			0	1		0
:			1	0		0
0					1	0
0	0	…	…	…	…	1

$\Bigr)$

← i行

← j行

$E_n$

Q−1

$R=$

$\Bigl($

1	0	…	…	…	…	0
0	1	0	…	c	…	0
:		1				0
:			1			0
:				1		0
0					1	0
0	0	…	…	…	…	1

$\Bigr)$

←i行

↑j列

第i行

第j行

$\Bigl($

1	0	2	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

$\Bigr)$

$\Bigl($

1	0	−2	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

$\Bigr)$

$=E_4$

$\Bigl($

1	0	−2	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

$\Bigr)$

$\Bigl($

1	0	2	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

$\Bigr)$

$=E_4$

定理４　次の(i)〜(v)は，それぞれ，n次正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件である．

$A\vec{x}=\vec{0}$

$\vec{b}$

$A\vec{x}=\vec{b}$

$A$

$E_n$

$A$

(i)⇔(iv)の証明：

$A$

(iv)⇔(iii)の証明：

$A$

$E_n$

正則→(i)の証明：

$A$

$A^{-1}$

$A$ $\vec{x}$ = $\vec{0}$ 　 →　 $A^{-1}$ $A$ $\vec{x}$ = $A^{-1}$ $\vec{0}$ 　 →　 $\vec{x}$ = $\vec{0}$

$A$

$\vec{x}$

$\vec{b}$

$A^{-1}$

$A$

$\vec{x}$

$A^{-1}$

$\vec{b}$

$\vec{x}$

$A^{-1}$

$\vec{b}$

(i)→(ii)の証明：

$A$

$\vec{x}$

$\vec{b}$

$A$

$\vec{x}$

$\vec{b}$

$A$

$\vec{x}$

$\vec{0}$

$\vec{x}$

$\vec{0}$

$\vec{x}$

(ii)→(i)の証明：

$\vec{x}$

$\vec{0}$

$A$

$\vec{x}$

$\vec{0}$

$A$

$\vec{x}$

$\vec{0}$

(ii)→正則の証明：

$\vec{e}$

$A$

$\vec{x}$

$\vec{e}$

$\vec{c}$

$A$ $\vec{c}$ 1= $\vec{e}$ i
$A$ $\vec{c}$ 2= $\vec{e}$ 2
…
$A$ $\vec{c}$ n= $\vec{e}$ n

$A$

$\vec{c}$

$\vec{e}$

$E_n$

$C$

$\vec{c}$

$A$ $C$ = $E_n$ 　… (1)

$A$

$E_n$

$P$

$Q$

$R$

$H$

$H$ k… $H$ 2 $H$ 1 $A$ = $E_n$

$D$

$H$

$D$ $A$ = $E_n$ 　… (2)

$D$

$E_n$

$D$

$A$

$C$

$D$

$A$

$C$

$E_n$

$C$

$A$

$C$

$A$

$E_n$

$A$

$C$

$D$

$A^{-1}$

n次正則行列 $A$ , $B$ について，次が成り立つ.

$A$

$A^{-1}$

−1

$A$

−1

$A$

−1

$AB$

−1

$B$

−1

$A$

−1

$A$

$B$

$A$

$E_n$

$B$

$A$

$A^{-1}$

$A$

$A^{-1}$

$E_n$

$A^{-1}$

−1

$A^{-1}$

−1

$A$

$B$

$A$

t $A$ t( $A$ −1) =t( $A$ −1 $A$ ) =t $E_n$ = $E_n$
t( $A$ −1)t $A$ =t( $A$ $A$ −1) =t $E_n$ = $E_n$

$A$

−1

$A$

−1

( $AB$ )( $B$ −1 $A$ −1) = $A$ ( $B$ $B$ −1) $A$ −1= $A$ ( $E_n$ ) $A$ −1= $A$ $A$ −1= $E_n$
( $B$ −1 $A$ −1)( $AB$ ) = $B$ −1( $A$ −1 $A$ ) $B$ = $B$ −1( $E_n$ ) $B$ = $B$ −1 $B$ = $E_n$

$AB$

−1

$B$

−1

$A$

−1

○　逆行列の求め方

$A$

$H$

$H$ k… $H$ 2 $H$ 1 $A$ = $E_n$

$H$ k… $H$ 2 $H$ 1= $A$ −1

$A$

$E_n$

行

$H$ k… $H$ 2 $H$ 1[ $A$		$E_n$ ]
↓		↓
[ $E_n$		$H$ k… $H$ 2 $H$ 1]

$A$

$E_n$

$H$

$A$

−1

例１
$A=\begin{pmatrix}1& 3\\ 2& 5\end{pmatrix}$ の逆行列を求める．

2行+1行×(−2)

$A=\Bigl(\begin{matrix}1& 3\\ 2& 5\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix}1& 0\\ 0& 1\end{matrix}\Bigr)$ $\Rightarrow$ $\Bigl(\begin{matrix}1& 3\\ 0& -1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix}1& 0\\ -2& 1\end{matrix}\Bigr)$

2行×(−1)

$\Rightarrow$ $\Bigl(\begin{matrix}1& 3\\ 0& 1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix}1& 0\\ 2& -1\end{matrix}\Bigr)$

1行+2行×(−3)

$\Rightarrow$ $\Bigl(\begin{matrix}1& 0\\ 0& 1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix}-5& 3\\ 2& -1\end{matrix}\Bigr)$

ゆえに， $A^{-1}=\begin{pmatrix}-5& 3\\ 2& -1\end{pmatrix}$

例２

$A=\begin{pmatrix}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 1\end{pmatrix}$ の逆行列を求める．

1行と2行の入れ替え

$A=$ $\Biggl($ $\begin{matrix}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}$ $\Biggr)$ $\Rightarrow$ $\Biggl($ $\begin{matrix} 1& 1& 1\\0& 1& 2\\ 2& 1& 1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix} 0& 1& 0\\1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}$ $\Biggr)$

3行+1行×(−2)

$\Rightarrow$ $\Biggl($ $\begin{matrix} 1& 1& 1\\0& 1& 2\\ 0& -1& -1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix} 0& 1& 0\\1& 0& 0\\ 0& -2& 1\end{matrix}$ $\Biggr)$

1行+2行×(−1), 3行+2行

$\Rightarrow$ $\Biggl($ $\begin{matrix} 1& 0& -1\\0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix} -1& 1& 0\\1& 0& 0\\ 1& -2& 1\end{matrix}$ $\Biggr)$

1行+3行, 2行+3行×(−2)

$\Rightarrow$ $\Biggl($ $\begin{matrix} 1& 0& 0\\0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}\hspace{3}\left|\hspace{3}\begin{matrix} 0& -1& 1\\-1& 4& -2\\ 1& -2& 1\end{matrix}$ $\Biggr)$

ゆえに $A^{-1}=\begin{pmatrix}0& -1& 1\\ -1& 4& -2\\ 1& -2& 1\end{pmatrix}$