５　連立１次方程式１

５　連立１次方程式１

○　行列
$A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$
は，その列ベクトル
$\vec{a_j}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{pmatrix}\hspace{10}(j=1,\hspace{1}2,\hspace{1}\ldots,\hspace{1}n)$
を用いて，
$A=\Bigl[\vec{a_1},\hspace{1}\vec{a_2},\hspace{2}\ldots\hspace{2},\hspace{1}\vec{a_n}\Bigr]$
と書くことができる．

　また，行ベクトル $\vec{b_i}=(a_{i1},\hspace{1}a_{i2},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{1}a_{im})$ を用いて
$A=$ $\Biggl($ $\begin{matrix}\vec{b_1}\\ \vec{b_2}\\ \vdots\\ \vec{b_m}\end{matrix}$ $\Biggr)$
と書くこともできる．

○　n個の未知数 $x_1,\hspace{1}x_2,\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{1}x_n$ に関するm個の１次方程式からなる連立１次方程式

$a_{11}x_1+ a_{12}x_2+\cdots+ a_{1n}x_n=b_1$
$a_{21}x_1+ a_{22}x_2+\cdots+ a_{2n}x_n=b_2$ …(*)
$\hspace{30}\cdots\hspace{30}\cdots\hspace{30}\cdots\hspace{20}=\hspace{2}\cdots$
$a_{m1}x_1+ a_{m2}x_2+\cdots+ a_{mn}x_n=b_m$

をn元連立1次方程式という．(ここに，mは式の個数，nは未知数の個数)
　この連立方程式は，行列
$A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$
ベクトル
$\vec{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m}\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m}\end{pmatrix}$
を用いて，
$A\vec{x}=\vec{b}$
と書くことができる．
　このとき，Aを連立方程式の係数行列， $\vec{x}$ を未知数（ベクトル）， $\vec{b}$ を右辺という．

例１
　鶴の頭数をx1，亀の頭数をx2，鶴と亀の頭数の合計をb1，鶴と亀の足の数の合計をb2とするとき，いわゆる「鶴亀算」は次の連立方程式に直せる．

x1+x2=b1
2x1+4x2=b2
　この連立方程式は，ベクトルを用いて，次のように表わすことができる．
$\begin{pmatrix}1& 1\\ 2& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$
　ここで
$A=\begin{pmatrix}1& 1\\ 2& 4\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$
とおけば，この方程式は
$A\vec{x}=\vec{b}$
と書ける．
例２
　狐の頭数をx1，狸の頭数をx2，狐と狸の頭数の合計をb1，狐と狸の足の数の合計をb2として，「狐狸算」というものを考えると，次の連立方程式で表せる．

x1+x2=b1
4x1+4x2=b2
　この連立方程式は，行列とベクトルを用いて，次のように表わすことができる．
$\begin{pmatrix}1& 1\\ 4& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$
　ここで
$A=\begin{pmatrix}1& 1\\ 4& 4\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$
とおけば，この方程式は
$A\vec{x}=\vec{b}$
と書ける．
例３
　りんごの個数をx1，かきの個数をx2，みかんの個数をx3，りんご･かき･みかんの個数の合計をb1，りんご１個の価格を150円，かき１個の価格を120円，みかん１個の価格を80円，合計の価格をb2，りんご１個の重さを200g，かき１個の重さを130g，みかん１個の重さを70g，合計の重さをb3とするとき，

　 x1　 +x2　 +x3=b1
150x1+120x2+80x3=b2
200x1+130x2+70x3=b3
　この連立方程式は，行列とベクトルを用いて，次のように表わすことができる．
$\begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 150& 120& 80\\ 200& 130& 70\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3\end{pmatrix}$
　ここで，
$A=\begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 150& 120& 80\\ 200& 130& 70\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix},\hspace{3}\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3\end{pmatrix}$
とおけば，この方程式は
$A\vec{x}=\vec{b}$
と書ける．

○　連立方程式の右辺の定数項からなる列ベクトル $\vec{b}$ を係数行列の右側に付け加えたm×(n+1)行列
$\Bigl[A\hspace{3}\vec{b}\Bigr]$ $=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}& b_2\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}& b_m\end{pmatrix}$
を拡大係数行列という．
　既知の値 $A,\hspace{2}\vec{b}$ をすべて定めると方程式が定まるが，既知の値の一覧表が拡大係数行列となっている．

例４
連立１次方程式

x1+x2=5
4x1+5x2=23
の拡大係数行列は
$\begin{pmatrix}1& 1& 5\\ 4& 5& 23\end{pmatrix}$

例５
連立１次方程式

x1+4x2+7x3−x4=4
2x1　+8x3−2x4=5
3x1+6x2　−3x4=6
を行列で表わすと，
$\begin{pmatrix}1& 4& 7& -1\\ 2& 0& 8& -2\\ 3& 6& 0& -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}$
このとき，係数行列は，
$\begin{pmatrix}1& 4& 7& -1\\ 2& 0& 8& -2\\ 3& 6& 0& -3\end{pmatrix}$
　拡大係数行列は，
$\begin{pmatrix}1& 4& 7& -1& 4\\ 2& 0& 8& -2& 5\\ 3& 6& 0& -3& 6\end{pmatrix}$
である．
（※この連立方程式は，未知数が4個，方程式が3個となっていて，不定解になる形であるが，ここでは拡大係数行列という用語を解説しているのであるから，不定解になることは重要ではない）

○　連立１次方程式

は，列ベクトル
$\vec{a_j}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{pmatrix}\hspace{10}(j=1,\hspace{1}2,\hspace{1}\cdots\hspace{1},\hspace{1}n)$
の１次結合で表わすこともできる：
$x_1\vec{a_1}+ x_2\vec{a_2}+\cdots+ x_n\vec{a_n}=\vec{b}$
　この場合，ベクトル $\vec{b}$ を $\vec{a_1},\hspace{1}\vec{a_2},\hspace{1}\cdots,\hspace{1}\vec{a_n}$ の１次結合で表わしたときの係数 $x_1,\hspace{1}x_2,\hspace{1}\cdots\hspace{1},\hspace{1}x_n$ が連立方程式の解となる．

例６
イカの頭数をx1，タコの頭数をx2，イカとタコの頭数の合計をb1，イカとタコの足の数の合計をb2とし，「イカ･タコ算」というものを考えると

x1+x2=b1
10x1+8x2=b2
　この連立方程式は，次のように表わすことができる．
$\vec{a_1}=\begin{pmatrix}1\\ 10\end{pmatrix},\hspace{2}\vec{a_2}=\begin{pmatrix}1\\ 8\end{pmatrix},\hspace{2}\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$
とおけば
$x_1\vec{a_1}+ x_2\vec{a_2}=\vec{b}$

■確認テスト■　（半角数字で答えよ）

(1)　次の連立方程式を行列を用いて表せ．

x1+4x2=4
3x1+6x2=6

……→

$\Bigl($

$\Bigr)$ $\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}$ $=\Bigl($

$\Bigr)$

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(2)　次の連立方程式の係数行列を示せ．

x1−x2+x3=2
3x1+2x2−x3=−1

……→

$\Bigl($

$\Bigr)$

採点するやり直す

(3)　次の連立方程式の拡大係数行列を示せ．

3x1−2x2=0
x1　　=5

……→

$\Bigl($

$\Bigr)$

採点するやり直す

(4)　次の拡大係数行列をもつ連立１次方程式を書け．

$\begin{pmatrix}4& 7& -1\\ 5& 2& 3\end{pmatrix}$

……→ x1+x2=

x1+x2=

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(5)

$\vec{a_1}=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix},\hspace{2}\vec{a_2}=\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix},\hspace{2}\vec{b}=\begin{pmatrix}9\\ 26\end{pmatrix}$
のとき，
$x_1\vec{a_1}+ x_2\vec{a_2}=\vec{b}$
を満たす x1，x2の値を求めよ．
x1=，x2=
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