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◇１変数関数の増減表◇

※　このページでは，関数f(x)やf ’(x)が連続なものを扱う．したがって，f ’(x)の符号が変化するときは，必ずf ’(x)=0となる点が存在する．

１．［増加，減少の定義］
○　ある区間a≦x≦b内の任意の値x1, x2について，
x1< x2ならばf(x1) < f(x2)
が成り立つとき，関数f(x)は区間a≦x≦bにおいて（単調）増加であるという．
○　ある区間a≦x≦b内の任意の値x1, x2について，
x1< x2ならばf(x1) > f(x2)
が成り立つとき，関数f(x)は区間a≦x≦bにおいて（単調）減少であるという．


２．［導関数を用いた増減の判定］
　（単調）増加及び（単調）減少は，異なる２つの値x1, x2に対する関数の値を比較して得られる性質であるので，原理的には１点の値f(x)やf ’(x)のみによっては判断できないものであるが，１つの区間a≦x≦bにおいてf ’(x)が常に正であるならば，この区間で（単調）増加であることを示すことができる．（平均値の定理を用いて証明される．）
　同様にして，１つの区間a≦x≦bにおいてf ’(x)が常に負であるならば，この区間で（単調）減少であることを示すことができる．
○　ある区間a≦x≦b内で
つねにf ’(x) > 0→　（単調）増加
○　ある区間a≦x≦b内で
つねにf ’(x) < 0→　（単調）減少

３．［極値の定義］

○　関数f(x)についてx=aのまわりで，つねに
f(a)>f(x) , (x≠a)
となるとき，f(x)はx=aで極大であるといい，f(a)を極大値という．
　極大となるところx=aでは，関数f(x)が増加から減少に変化し，
f ’(a)=0
となる．その前後ではf ’(x)の符号は正から負に変化する．
○　関数f(x)についてx=aのまわりで，つねに
f(a)<f(x) , (x≠a)
となるとき，f(x)はx=aで極小であるといい，f(a)を極小値という．
　極小となるところx=aでは，関数f(x)が減少から増加に変化し，
f ’(a)=0
となる．その前後ではf ’(x)の符号は負から正に変化する．
○　極大値と極小値をまとめて極値という．

○　極値→f ’(x)=0でかつf ’(x)の符号が変化する[右図1]
f ’(x)の符号が正から負へ変化：極大値
f ’(x)の符号が負から正へ変化：極小値
○f ’(x)=0でもf ’(x)の符号が変化しないとき[右図2]
極値でない

※　この章では増減表を用いた極値の調べ方を解説したが，後の章で増減表を用いない極値の調べ方にも触れる．（２変数関数についても同様） 		　極大の前後では，f ’(x)が正から負に変化してあり，極大のところではf ’(x)=0となる．
x a
f ’(x) ＋ 0 −
f(x) f(a)
図1
図2

※　高校以来学んでいるように，極大・極小はその点のまわりだけの性質で，一定の区間で一番大きい，小さいを表わす最大・最小とは別のものである．
　極大であっても，最大である場合も，最大でない場合もある．

◇2変数関数の増減表◇

１．［2変数関数の極値］

○　2変数関数f(x, y)について，点(a, b)のまわりで，つねに
f(a, b)>f(x, y) , (x, y)≠(a, b)
となるとき，f(x, y)は(a, b)で極大であるといい，f(a, b)を極大値という．
　極大となるところでは，=0 ,=0となり，各々増加から減少に変化する．

○　2変数関数f(x, y)について，点(a, b)のまわりで，つねに
f(a, b)<f(x, y) , (x, y)≠(a, b)
となるとき，f(x, y)は(a, b)で極小であるといい，f(a, b)を極小値という．
　極小となるところでは，=0 ,=0となり，各々減少から増加に変化する．

○　１変数関数のときと同様に，極大値と極小値をまとめて極値という．

※　峠を越える道路は通常，右図5の青で示した経路となる．青で示した方向で x座標だけが変化するとすると，この道路は各yの最小値を取りながら山を越えるようになっている．特に鞍点（峠）では，y方向に見れば極小，x方向に見れば極大となるが，２変数関数としては極値でない．（これよりも大きいところも小さいところもある．）

右図6に示した点（一人掛けソファーの中心部）も=0,
=0であるが極値ではない．
 図3
図4
図5
図6
問題
　右の等高線で，点B C, Dについてfx，fyの符号を埋めよ．（初めにを選び，続いて符号を選べ．）
例：A B C D
fx
fy

　[選択肢]，，
２．［2変数関数の増減表］
　2変数関数で極値となるところでは，=0 ,=0が成り立つが，この連立方程式の解となる(x, y)が実際に極値となるかどうか［上記の図5，図6でなく図3，図4となるかどうか］は，右図のように２変数関数の増減表を作って調べる．

（手順）

(1)=0の曲線を描く

(2)=0の曲線を描く

　以上の(1)(2)はていねいに描く必要はない．実際には，これら2曲線の交点(a, b)（連立方程式の解）とその付近での(1)(2)の向きが分かればよい．

(3)=0の曲線上での符号に応じてzが増える向きに矢印を描く（↑または↓）

(4)=0の曲線上でも同様に右向き又は左向きの矢印を描く．（→または←）

(5)4個の領域について，左で上なら左上向き45°の太めの矢印を描く．右下なら右下向き45°とする．以下同様．（これらは各点での傾き(,）を正確に反映している必要はなく，最終的に点(a, b)に向かっているか，離れているかが分かればよいので，おおまかに45°で描けばよい．）

(6)4個の領域について矢印が描けたら，これらの矢印が全部点(a, b)に向かっていれば，(a, b)は極大値，全部点(a, b)から離れていけば，(a, b)は極小値とする．それ以外の場合は極値でない．

※　次の関係に注意：
左の図でa>0のとき，
x0<x1ならば，
ax0+by0+c=0<ax1+by0+c

同様にb>0のとき，
y0<y1ならば，
ax0+by0+c=0<ax0+by1+c		 増減表

例1
z=f(x, y)=x2−2xy+3y2−4x+8yの極値を求めよ．

（答案）
連立方程式

=2x−2y−4=0･･･(1)

=−2x+6y+8=0･･･(2)

を解くと，x=1 , y=−1
(1)よりも右にあれば（xが大きければ），>0となるから，(1)よりも右にある部分に（→）を入れる．
※この場合は，(1)よりも下にあれば（yが小さければ）>0となるといっても同じ．
逆に，(1)よりも左にあれば<0となるから，(1)よりも左にある部分に（←）を入れる．（　(2)の上だけでよい．　）
※この場合は，(1)よりも上にあれば（yが大きければ）<0となるといっても同じ．
※※　(1)では=0が成り立つ．(1)以外ではは正か負かいずれかとなる．つまり，xが増えれば，zは増えるか減るかいずれかとなる．この符号は計算しやすい点の座標を代入して求めてもよい．例えば (0 , 0 )では<0だから(0 , 0 )を含む領域では←になる．
(2)よりも上にあれば>0となるから，(2)よりも上にある部分に（↑）を入れる．逆に，(2)よりも下にあれば<0となるから，(2)よりも下にある部分に（↓）を入れる．（　(1)の上だけでよい．　）
※で示した考え方は，上と同様．
以上により点(1,−1)は極小値z=f(1,−1)=6をとる．
例2
z=f(x, y)=x2+xy−y2−2x−yの極値を調べよ．

（答案）

=2x+y−2=0･･･(1)

= x−2y−1=0･･･(2)

を解くと，x=1 , y=0

(1)よりも上では（yが大きければ）>0で右矢印
(1)よりも下では（yが小さければ）<0で左矢印
(2)よりも右では（xが大きければ）>0で上矢印
(2)よりも左では（xが小さければ）<0で下矢印

※　計算しやすい点の座標を代入する方法で行うと，
(0 , 0)では2x+y−2<0, x−2y−1<0となるから，
　　(1)は負，(2)も負：左下向き
次に(1)を横切ると左右の向きが変り，(2)を横切ると上下の向きが変ることに注意すると，全部のが描ける．

増減表を作ると右図のようになるから，極値はない．
参考：鳥瞰図
例3
z=f(x, y)=2x3−6xy+3y2の極値を調べよ．

（答案）

=6x2−6y=6(x2−y)=0･･･(1)

=−6x+6y=−6(x−y)=0･･･(2)

を解くと，(0 , 0) , (1 , 1)
(1 , 0)において，→↓
以下境界線を横切るたびに→↓の向きを入れ換えると右図の増減表ができる．

(1 , 1)において極小値−1をとる．
(0 , 0)では極値とはならない．

例4
z=f(x, y)=x3+3xy2−3xの極値を調べよ．

（答案）

=3x2+3y2−3=3(x2+y2−1)=0･･･(1)

= 6xy=0･･･(2)

を解くと，(1 , 0) , (0 , 1) , (−1 , 0) , (0 ,−1)
(1 , 1)において，→↑
以下境界線を横切るたびに→↓の向きを入れ換えると右図の増減表ができる．

(1 , 0)において極小値−2をとる．
(−1 , 0)において極大値2をとる．
(0 , 1) , (0 ,−1)では極値とはならない．
問題
１．次の関数の増減表を作れ．（右図で，初めにを選び続いてを選べ．正しければ確定し，間違っていれば元に戻る．）
(1) z=f(x, y)=x3−3xy+y3

Help→途中計算鳥瞰図

(2) z=f(x, y)=2x3−6xy−12x+3y2

Help→途中計算鳥瞰図




２．次の関数の極値を求めよ．
　増減表は右図で，初めにを選び続いてを選べ．
　極値は，該当するものを選べ．

z=f(x, y)=2x2−2xy+y2+2x+2y

(−2,−3)で極大値−5をとる
(−2,−3)で極小値−5をとる
極値なし

Help→途中計算鳥瞰図


３．［方向微分］

　右図のようにx軸の正の向きとなす角がθである斜辺に沿って長さrだけ進むと，x座標がrcosθ，y座標がrsinθだけ大きくなるから，点(a, b)からx軸の正の向きとなす角がθである斜辺に沿って長さrだけ進んだ点の座標は(x+rcosθ，y+rsinθ)となる．
この方向に沿った平均変化率は


となるが，これをx軸方向の増加とy軸方向の増加の２段に分けて求めると，



=+
　微分係数は，


=
+

　ここで第1項は，
· cosθ

=· cosθ=cosθ

　第2項は，
=sinθ
=sinθ =sinθ

となるから，次の式を得る．
cosθ+sinθ

　この式を，ベクトル=(cosθ,sinθ)方向の微分係数といい，で表わす．すなわち，
=cosθ+sinθ







　各々の点(a, b)に対して
||

が最大となる角度θが定まり，この角度θに沿って下降（または上昇）すれば，最短距離で下降（または上昇）することができる．
．
　曲面にボールをそっと置くと，ボールは勾配ベクトルに沿って（逆向きに）転がっていくので，このボールを追跡すると２変数関数の極小値を求めることができる．
４．［勾配ベクトル］

○　方向微分係数は，各点(a, b)ごとに定まるベクトル (,) と単位ベクトル=(cosθ,sinθ)の内積となっているから，が (,) と同じ向きのとき最大となる．
grad f(a, b)=(,)

で定められるベクトルを勾配ベクトルという．勾配ベクトルは各点(a, b)において関数f(x, y)が最も効果的に増加する向きを表わしている．（勾配ベクトルの逆向きが最も効果的に減少する向きとなる．）

○　第２章で述べた等高線に沿った接線の方程式
fx(a, b)(x−a)+fy(a, b)(y−b)=0
は，右図のように接線上の点P(x, y)，接点A(a, b)に対してベクトル =(x−a, y−b)と勾配ベクトル (,) が垂直であることを示している．
　すなわち，「勾配ベクトルは等高線に垂直である．」
○　勾配ベクトルに沿った移動の実演

(1) 次の実演1は，上の問題2.の
z=f(x, y)=2x2−2xy+y2+2x+2yについて，初期値(0, 0)からr=0.1ずつ，勾配ベクトルの逆向きに進んだときのシミュレーションで，「試行回数が50回になるか又は勾配ベクトルの大きさが 0.01以下」になれば止まるプログラムである．上記の結果と比較してみよ．

実演1

(2) 実演2は，上と同じ2変数関数について，初期値を(−3, 0)にしたものである．

実演2
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