◇微分の計算◇

　次の共通の性質と右の基本公式を用いて，様々な関数の導関数（微分）を求めることができる．

線形性

$\{af(x)+ bg(x)\}\apos=af\apos(x)+ bg\apos(x)$

積の微分法

$(fg)\apos=f\apos g+ fg\apos$

商の微分法

$(\frac{f}{g})\apos=\frac{f\apos g-fg\apos}{g^2}$

合成関数の微分法

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$

　次の公式はよく使われる基本公式である．

・ $f(x)=\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\rightarrow f\apos(x)=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$
・ $f(x)=\sin x\rightarrow f\apos(x)=\cos x$
・ $f(x)=\cos x\rightarrow f\apos(x)=-\sin x$
・ $f(x)=\tan x\rightarrow f\apos(x)=\frac{1}{\cos^2x}$
・ $f(x)=\arcsin x\rightarrow f\apos(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
・ $f(x)=\arccos x\rightarrow f\apos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
・ $f(x)=\arctan x\rightarrow f\apos(x)=\frac{1}{1+ x^2}$
・ $f(x)=e^x\rightarrow f\apos(x)=e^x$
・ $f(x)=a^x\hspace{5}(a\gt 0,\hspace{2}a\ne 1)\rightarrow f\apos(x)=a^x\log a$
・ $f(x)=\log x\rightarrow f\apos(x)=\frac{1}{x}$
・ $f(x)=\log_a x\hspace{5}(a\gt 0,\hspace{2}a\ne 1)\rightarrow f\apos(x)=\frac{1}{x\log a}$

例
　次の関数の導関数を求めよ．
(1)　f(x)=sin 4x+cos 5x　→　f ’(x)=4 cos 4x−5sin 5x
(2)　f(x)=log(x2+1)　→　f ’(x)=

(3)　y=ecos x　→　y’=−sin x ecos x

例

次の関数について，[　　]内に指定されたものを求めよ．
z=sin(x−y)　[　，，全微分 dz ]

=cos(x−y)

=−cos(x−y)

dz=cos(x−y)dx−cos(x−y)dy

（※半角数字=1バイト文字で答えよ）
問題1
　次の関数の導関数を求めよ．

$y=\sqrt{5x^2+ 3}$

$y=t^{\frac{1}{2}}$
$t=5x^2+ 3$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot(10x)$
$=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+ 3}}$

y’= (sin2x)’ cos3x+sin2x (cos3x)’
=2cos2x cos3x+sin2x(−3sin3x)

$y\apos=\frac{3e^{3x}\log 2x-e^{3x}\times\frac{1}{x}}{(\log 2x)^2}$
$=\frac{e^{3x}(3x\log 2x-1)}{x(\log 2x)^2}$

問題2
　次の関数について，[　　]内に指定されたものを求めよ．

=(x2+y2)x (x4+y)+(x2+y2) (x4+y)x

=2x(x4+y)+(x2+y2)4x3=2x5+2xy+4x5+4x3y2
=6x5+4x3y2+2xy
=2x(3x4+2x2y2+y)

=(ex)x (x+y2)+ex(x+y2)x=ex(x+y2)+ex

=ex(1+x+y2)

( )=ex(2y)

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2}{2x+ 3y}$
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{-4}{(2x+ 3y)^2}$
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(1,\hspace{2}1)=\frac{-4}{25}$

f(2 ,−1)=3
=2x+2y　→　(2 ,−1)=2

=2x+6y　→　(2 ,−1)=−2

z=2(x−2)−2(y+1)+3=2x−2y−3

z(0 , $\pi$ )=0
=2cos(2x−3y)=−2
　→　z=−2(x−0)+0

=2e2x+3y

=3e2x+3y

dz=2e2x+3ydx+3e2x+3ydy

○===メニューに戻る