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スマホ画面の横幅が，教材の横幅と少し合わないときは，リンクの掛かっていない文字［例えばこの文字］をトントンとたたくと合うようです（ダブルクリック，ダブルタップ）
○軸，頂点，凹凸(1)２次関数 y = ax2 (ただし，a ≠0) のグラフは， i) a＞０のとき，右図１のように下に凸（谷形）のグラフになる． ii) a＜０のとき，右図2のように上に凸（山形）のグラフになる． |
図１
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スマホ画面の横幅が，教材の横幅と少し合わないときは，リンクの掛かっていない文字［例えばこの文字］をトントンとたたくと合うようです（ダブルクリック，ダブルタップ）
○軸，頂点，凹凸(1)２次関数 y = ax2 (ただし，a ≠0) のグラフは， i) a＞０のとき，右図１のように下に凸（谷形）のグラフになる． ii) a＜０のとき，右図2のように上に凸（山形）のグラフになる． |
| 図１
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| (2)２次関数 y = a(x−p)2 + q(ただし，a ≠0) のグラフは，右図3のように，y = ax2 のグラフをx 軸の正の向きにp ，y 軸の正の向きにq だけ平行移動したものになる． このとき，頂点の座標は(p，q) 軸の方程式はx = pとなる． |
図３ |
| ※（補足説明） ・y = a(x−p)2 + qのグラフの形（上に凸か，下に凸かなど）は aの値だけで決まる． ・a＞０のとき，下に凸（谷型） ・a＜０のとき，上に凸（山型） ・p，qの値は平行移動だけに関係する． ・p，qの符号に注意すること．次の例をみよ． |
例y =2(x−3)2 + 4のグラフはy = 2x2のグラフを x 軸の正の向きに3，yの正の向きに4だけ平行移動したもの．頂点の座標は(3，4)，軸の方程式はx = 3   |
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・２次関数のグラフの頂点は，関数の形を
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| ■即答問題■ ◇正しい方を選べ◇ (1)y = 2x2のグラフは･･･→[上に凸 ，下に凸] (2)y =−2x2のグラフは･･･→[上に凸 ，下に凸] |
| ◇空欄を埋めよ◇ （※以下空欄書き込み問題では，必ず「半角数字」「１バイト文字の数字」を書き込むこと） |
| ○平方完成 ２次式 ax2 + bx + cを平方完成するには， i) まずx2 の係数でくくる･･･定数項は後回しにして（あとで定数が出てくるので，最後に調整する方が有利） ii) 次にxの係数の半分を持ってくる |
| 例 3x2 + 6x + 5 = 3(x2 + 2x) + 5 ･･･i) =3(x2 + 2 x + 1−1) + 5･･･ii) = 3{(x+ 1)2−1} + 5 =3(x + 1)2−3 + 5 = 3(x + 1)2 + 2 |
※一般に，次のように変形することができるが，この「結果」を覚える必要はなく，右図に示した「変形方法」を身につけるとよい． |
［要点］ ※初歩的な注意：次のようにx の係数が負のときも，「２乗の部分は常に引き算」となる． x2−6x = x2−6x + 9 - 9 = (x−3)2 - 9 |
| 例題１次の式を平方完成せよ． (1)3x2−12x + 13 (与式)=3(x2−4x) + 13 =3{ (x−2)2 - 4 } + 13 |
| (2)2x2 + 6x−5 (与式) = 2(x2 + 3x)−5 =2{ (x + )2 − }−5 = 2(x + )2−−5 = 2(x + )2−･･･(答) |
| 例題２次の２次関数の頂点の座標を求めよ． (1)y = x2−6x + 10 y = (x−3)2−9 + 10 =(x−3)2 + 1 |
(2)y = -2x2 + 8x + 3
y =−2(x2−4x) + 3 =−2{ (x−2)2−4 } + 3 |
| ○最大値・最小値 (1)x の値の範囲が全実数（-∞＜x ＜∞）のとき i) a＞0のとき，２次関数 y = a(x−p)2 + qのグラフは，右図4のように下に凸（谷形）のグラフで，頂点の座標は(p，q)だから， x=p のとき最小値 q をとり，最大値はない． ii) a＜0のとき，２次関数 y = a(x−p)2 + qのグラフは，右図5のように上に凸（山形）のグラフで，頂点の座標は(p，q)だから， x=p のとき最大値 q をとり，最小値はない． (2)xの定義域（値の範囲）に制限があるとき 右図6のように，２次関数 y = a(x−p)2 + qのグラフを描き，「左端」「右端」「頂点」のｙ座標を比較して，最大値・最小値を判断する．（定義域が閉区間（両端の値が含まれる）のとき，２次関数の最大値，最小値は，いずれも存在する．） ※初歩的な注意として，頂点が定義域の外にあるとき，頂点の値を含めないように気をつけること． |
図4 図5 図6
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| 例題3次の２次関数の最大値，最小値を求めよ． (1)y = 3(x−1)2 + 5 グラフは下に凸で，頂点の座標は(1，5) だから |
(2)y =−4(x−2)2−6
グラフは上に凸で，頂点の座標は(2，-6) だから |
(3)y =−x2 + 2x + 3 (2≦x≦3)
y =-(x2−2x) + 3 =−{ (x−1)2-1 } + 3 |
(4)y = x2−5x + 4 (0≦x≦3)
y =(x2−5x) + 4 = (x−)2- |
| ■即答問題■
次の２次関数の最大値，最小値を求めよ． （※空欄書き込み問題は，「半角数字」「１バイト文字」で書き込むこと） |
