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■２次関数
○　軸，頂点，凹凸

(1)　２次関数 y = ax2 　(ただし，a ≠0) 　のグラフは，
　i) 　a＞０　のとき，右図１のように下に凸（谷形）のグラフになる．
　ii) 　a＜０　のとき，右図2のように上に凸（山形）のグラフになる．
 図１
図２
(2)　２次関数 y = a(x−p)2 + q　(ただし，a ≠0) 　のグラフは，右図3のように，y = ax2 のグラフをx 軸の正の向きにp ，y 軸の正の向きにq だけ平行移動したものになる．

　このとき，頂点の座標は　(p，q)
　軸の方程式は　x = p　となる．		 図３
※　（補足説明）
・y = a(x−p)2 + q　のグラフの形（上に凸か，下に凸かなど）は aの値だけで決まる．
・p，q　の値は平行移動だけに関係する．
・p，q　の符号に注意すること．右の例をみよ．









・２次関数のグラフの頂点は，関数の形を
y = a(x−p)2 + q
の形にしたときに分かる．この形を標準形 ( 平方完成形 ) という．
y = ax2 + bx + c
の形（展開形，一般形）のままでは，頂点の座標は分からない．		 ・　a＞０　のとき，下に凸（谷型）
・ 　a＜０　のとき，上に凸（山型）
例　y =2(x−3)2 + 4　のグラフは　y = 2x2のグラフを x 軸の正の向きに3，yの正の向きに4だけ平行移動したもの．頂点の座標は(3，4)，軸の方程式はx = 3
例　y = 2(x + 3)2 + 4　のグラフは　y = 2x2のグラフを　x 軸の正の向きに-3，y 軸の正の向きに4だけ平行移動したもの．頂点の座標は(-3，4)，軸の方程式はx = -3
例　y = -2(x + 3)2−4　のグラフは　y = -2x2のグラフを　x 軸の正の向きに-3，y 軸の正の向きに-4だけ平行移動したもの．頂点の座標は(-3，-4)，軸の方程式はx = -3
■即答問題■

◇正しい方を選べ◇
(1)　y = 2x2のグラフは　･･･→[　上に凸 ，下に凸　]
(2)　y =−2x2のグラフは　･･･→[　上に凸 ，下に凸　]
 ◇空欄を埋めよ◇ （※以下空欄書き込み問題では，必ず「半角数字」「１バイト文字の数字」を書き込むこと）
(3)　y = 5(x−2)2 +6　のグラフは　y = x2のグラフを　x 軸の正の向きに，y 軸の正の向きにだけ平行移動したもので，頂点の座標は(，)，軸の方程式はx =

○　平方完成

　２次式 ax2 + bx + c　を平方完成するには，
i) まずx2 の係数でくくる　･･･　定数項は後回しにして（あとで定数が出てくるので，最後に調整する方が有利）
ii) 次にxの係数の半分を持ってくる		 例
　3x2 + 6x + 5 = 3(x2 + 2x) + 5 　　･･･i)

=3(x2 + 2 x + 1−1) + 5　　･･･ii)
= 3{(x+ 1)2−1} + 5

=3(x + 1)2−3 + 5 = 3(x + 1)2 + 2
※　一般に，次のように変形することができるが，この「結果」を覚える必要はなく，右図に示した「変形方法」を身につけるとよい．
 ［要点］

※　初歩的な注意：次のようにx の係数が負のときも，「２乗の部分は常に引き算」となる．
x2−6x = x2−6x + 9 - 9 = (x−3)2 - 9
例題１　次の式を平方完成せよ．
(1)　3x2−12x + 13
(与式)=3(x2−4x) + 13 =3{ (x−2)2 - 4 } + 13
 = 3(x−2)2−12 + 13 = 3(x−2)2 + 1　･･･(答)　
 (2)　2x2 + 6x−5

　(与式) = 2(x2 + 3x)−5 =2{ (x + )2 −  }−5

 = 2(x + )2−−5 = 2(x + )2−･･･(答)
例題２　次の２次関数の頂点の座標を求めよ．
(1)　y = x2−6x + 10
　y = (x−3)2−9 + 10 =　(x−3)2 + 1
　頂点の座標は (3，1) ･･･(答)
 (2)　y = -2x2 + 8x + 3
y =−2(x2−4x) + 3 =−2{ (x−2)2−4 } + 3
=−2 (x−2)2 + 8 + 3 =−2 (x−2)2 + 11･･･(答)

○　最大値・最小値

(1)　x の値の範囲が全実数（-∞＜x ＜∞）のとき

　i) 　a＞0のとき，２次関数 y = a(x−p)2 + q　のグラフは，右図4のように下に凸（谷形）のグラフで，頂点の座標は(p，q)　だから，
　　x=p のとき最小値 q をとり，最大値はない．

　ii) 　a＜0のとき，２次関数 y = a(x−p)2 + q　のグラフは，右図5のように上に凸（山形）のグラフで，頂点の座標は(p，q)　だから，
　　x=p のとき最大値 q をとり，最小値はない．
(2)　xの定義域（値の範囲）に制限があるとき
　右図6のように，２次関数 y = a(x−p)2 + q　のグラフを描き，「左端」「右端」「頂点」のｙ座標を比較して，最大値・最小値を判断する．（定義域が閉区間（両端の値が含まれる）のとき，２次関数の最大値，最小値は，いずれも存在する．）

※　初歩的な注意として，頂点が定義域の外にあるとき，頂点の値を含めないように気をつけること．		 図4図5
図6


例題3　次の２次関数の最大値，最小値を求めよ．
(1)　y = 3(x−1)2 + 5
グラフは下に凸で，頂点の座標は(1，5) だから
最大値なし
最小値5（x=1のとき）
 (2)　y =−4(x−2)2−6
グラフは上に凸で，頂点の座標は(2，-6) だから
最大値-6（x=2のとき）
最小値なし
(3)　y =−x2 + 2x + 3 (2≦x≦3)
y =-(x2−2x) + 3 =−{ (x−1)2-1 } + 3
=−(x−1)2 +4

最大値3 (x=2 のとき)
最小値0 （x=3 のとき）
 (4)　y = x2−5x + 4 (0≦x≦3)
y =(x2−5x) + 4 = (x−)2-
最大値4 (x=0 のとき)
最小値- （x= のとき）
■即答問題■

　次の２次関数の最大値，最小値を求めよ．
(1)　y = 2(x + 1)2 + 4
最大値　なし
最小値 (x= のとき)
(2)　y =−(x−3)2 + 4
最大値 (x= のとき)
最大値　なし
(3)　y = 2x2−4x + 1 (-3≦x≦0)


最大値(x= のとき）
最小値(x= のとき)
(4)　y =−3x2 + 12x−12 (1≦x≦4)


最大値(x= のとき）
最小値(x= のとき)
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