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8 基本変形とランク2

 ここでは,行列に掛けることによって,6で述べた行列の基本変形を実行できる基本行列 PQR を定義する.

○ 次の3つの行列 PQR は単位行列 E を少しだけ変形したものとなっている.
    (1) l 次単位行列の第( ii )成分1を c0 で置き換えて得られる l 次正方行列
    100
    0100
    :
    1


    0
    :

    1

    0
    :


    c
    0
    0



    10
    001

    を,l 行からなる行列に左から掛けると,ic 倍になる.
    例1

    ※参考:l 列からなる行列に右から P を掛けると,ic 倍になる.



    (2)  l 次単位行列の第 i 行と第 j 行を入れ替えて得られる l 次正方行列
    100
    0100
    :
    1


    0
    :

    01
    0
    :

    10
    0
    0



    10
    001

    を,l 行からなる行列に左から掛けると,ijは入れ替わる.
    例2

    ※参考:l 列からなる行列に右から Q を掛けると,ijが入れ替わる.


    (3)  l 次単位行列の第 ( i, j ) 成分を c に入れ替えて得られる l 次正方行列
    100
    010c0
    :
    1


    0
    :

    1

    0
    :


    1
    0
    0



    10
    001
    ←i行 ↑j列

    を,l 行からなる行列に左から掛けると,ijc 倍を加えた行列ができる.
    例3

    ※参考:参考:l 列からなる行列に右から R を掛けると,jic 倍を加えた行列ができる.

○ 以上のように,行列の()基本変形は,基本行列 PQR左から掛けることに対応している.
    例4 以下の変形には,各々次の基本行列を左から掛けることが対応する.









■確認テスト■ 
 次の空欄を埋めよ.
(1) A を4行5列の行列とするとき,次の基本行列を左から A に掛けると,どのような基本変形が行われるか述べよ.

 … 行列 A 行目と 行目が入れ替わる.  (小さいものから順に書け)


(2) A を4行5列の行列とするとき,次の基本行列を左から A に掛けると,どのような基本変形が行われるか述べよ.

  …行列Aの第 行を 倍する.


(3) A を4行5列の行列とするとき,次の基本行列を左から A に掛けると,どのような基本変形が行われるか述べよ.

   … 行列 A の第 行に第 行の 倍を加える.   


(4) 次のように,任意の2行2列の行列に左から掛けて,第1行に第2行の3倍を加えた結果が得られるように行列の成分を定めよ.



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