８　基本変形とランク２

　ここでは，行列に掛けることによって，６で述べた行列の基本変形を実行できる基本行列 P， Q， R を定義する．

○　次の３つの行列 P， Q， R は単位行列 E を少しだけ変形したものとなっている．

(1)

$P=$

$\Bigl($

1	0	…	…	…	…	0
0	1	0	…	…	…	0
:		1				0
:			1			0
:				c		0
0					1	0
0	0	…	…	…	…	1

$\Bigr)$

第 i 行

例１

$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \fbox{\hspace{2}c\hspace{2}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\a_{31}& a_{32}\\a_{41}& a_{42}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ \fbox{ca_{31}}& \fbox{ca_{32}}\\a_{41}& a_{42}\end{pmatrix}$

※参考：l 列からなる行列に右から P を掛けると，第 i 列は c 倍になる．
$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \fbox{\hspace{2}c\hspace{2}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& \fbox{ca_{13}}& a_{14}\\a_{21}& a_{22}& \fbox{ca_{23}}& a_{24}\end{pmatrix}$

(2)

$Q=$

$\Bigl($

1	0	…	…	…	…	0
0	1	0	…	…	…	0
:		1				0
:			0	1		0
:			1	0		0
0					1	0
0	0	…	…	…	…	1

$\Bigr)$

第 i 行

第 j 行

例２

$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\a_{31}& a_{32}\\a_{41}& a_{42}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ \fbox{a_{31}}& \fbox{a_{32}}\\ \fbox{a_{21}}& \fbox{a_{22}}\\a_{41}& a_{42}\end{pmatrix}$

※参考：l 列からなる行列に右から Q を掛けると，第 i 列と第 j 列が入れ替わる．
$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_{11}& \fbox{a_{13}}& \fbox{a_{12}}& a_{14}\\a_{21}& \fbox{a_{23}}& \fbox{a_{22}}& a_{24}\end{pmatrix}$

(3)

$R=$

$\Bigl($

1	0	…	…	…	…	0
0	1	0	…	c	…	0
:		1				0
:			1			0
:				1		0
0					1	0
0	0	…	…	…	…	1

$\Bigr)$

←i行

↑j列

第 i 行

第 j 行

例３

$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& \fbox{\hspace{2}c\hspace{2}}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\a_{31}& a_{32}\\a_{41}& a_{42}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}+ ca_{31}& ca_{22}+ ca_{32}\\ a_{31}& a_{32}\\a_{41}& a_{42}\end{pmatrix}$

※参考：参考：l 列からなる行列に右から R を掛けると，第 j 列に第 i 列の c 倍を加えた行列ができる．
$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& \fbox{\hspace{2}c\hspace{2}}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& ca_{12}+ a_{13}& a_{14}\\a_{21}& a_{22}& ca_{22}+ a_{23}& a_{24}\end{pmatrix}$

○　以上のように，行列の（行）基本変形は，基本行列 P， Q， R を左から掛けることに対応している．

例４

$Q=\begin{pmatrix}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$