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3 行列の定義

○ 行列(matrix)とは,スカラー(数とか式)を縦,横に並べたもので,配列(array)ともいう.
○ m×n個の数を長方形に並べ [  ] または (  )でくくってまとめたもの

または

m行n列の行列,m×n型の行列,m×n行列,(m,n)行列などという.
○ 行列を表わす記号には大文字を用いる.たとえば


とおいて,行列A,行列Bという.
○ 行列Aの上からi番目,左からj番目に現われる数aijを行列Aの(i, j)成分という.
○ 2つの行列ABは「型が一致」して,かつ「すべてのi, jについてaij=bij」のとき,等しいといいA=Bと書く.

例1
(1) 4軒のコンビニで,りんご,かき,みかんの単価を調査した結果をこの順に並べたもの

(2) 2×3行列Bにおいて(i, j)成分をbij=i+jの規則でつくったもの

(3) 次の2つの行列は等しい.すなわち,C=Dである.

 次の2つの行列は等しくない.すなわち,E≠Fである.(行列の型が異なる.)


○ 行列Aの成分の横の並びをA(row)といい,上から第i番目の行をiという.

i(1im)は

 また,行列Aの成分の縦の並びをA(column)といい,左から第j番目の列をAjという.

j(1jn) は


○ よく現われる特別な行列として,次のようなものがある.
 • 1×n行列をn次の行ベクトル(横ベクトル),m×1行列をm次の列ベクトル(縦ベクトル)という.
 行列Aj列ベクトル

を束ねると

と書ける.
 • すべての成分が0であるm×n行列を零行列(zero matrix)といい,0m,nで表わすが,型が明らかな場合は0と書く.
例2  2×3型の零行列は

 • 行数と列数が等しい行列を正方行列(square matrix)といい,n×n行列をn次の正方行列という.
例3

は2次の正方行列である.
 • 対角線上にある成分(右下がりの対角線,すなわち行番号と列番号が等しい成分) a11,a22,… ,ann対角成分という.
 特に,正方行列であって,かつ,対角成分以外のずべての成分が0であるような行列を対角行列(diagonal matrix)という.(対角成分は,何でもよい.)
例4
 次の行列Aの対角成分は,3,0,1,行列Bの対角成分は,4,3,0,1であり,Aは対角行列でなく,Bは対角行列である.

 • 対角成分がすべて1となる対角行列を単位行列(identity matrix,unit matrix)という.n次の単位行列をEnで表わし,次数が明らかなときは,Eで表わす.
例5


 • 対角成分がすべて等しい対角行列をスカラー行列(scalar matrix)という.スカラー行列はkEの形に表せる.
例6 次の行列はスカラー行列である.


■確認テスト■  (半角数字で答えよ)
(1) 行列 について答えよ.
・何行何列の行列か … 
a23=  
(2) 3×3行列A= [aij] の成分がaij=i−jで与えられるとき,Aを書け.
A=

(3) 2次の単位行列を書け.

(4) 次の行列Aと同じ対角成分をもつ対角行列Bを求めよ.
B=

(5) 2次のスカラー行列 5Eを成分で表せ.

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