３　行列の定義

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３　行列の定義

○　行列（matrix）とは，スカラー（数とか式）を縦，横に並べたもので，配列（array）ともいう．
○　m×n個の数を長方形に並べ [ 　] または（　　）でくくってまとめたもの
$\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{matrix}\right]$ または $\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$
をm行n列の行列，m×n型の行列，m×n行列，（m，n）行列などという．
○　行列を表わす記号には大文字を用いる．たとえば
$A=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{matrix}\right]$ $B=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$
とおいて，行列A，行列Bという．
○　行列Aの上からi番目，左からj番目に現われる数aijを行列Aの（i, j）成分という．
○　２つの行列A，Bは「型が一致」して，かつ「すべてのi, jについてaij=bij」のとき，等しいといいA=Bと書く．

例１
(1)　４軒のコンビニで，りんご，かき，みかんの単価を調査した結果をこの順に並べたもの
$A=\left[\begin{matrix}128& 108& 58\\ 150& 120& 50\\ 136& 116& 76\\ 100& 110& 88\end{matrix}\right]$
(2)　2×3行列Bにおいて（i, j）成分をbij=i+jの規則でつくったもの
$B=\begin{pmatrix}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\end{pmatrix}$
(3)　次の２つの行列は等しい．すなわち，C=Dである．
$C=\begin{pmatrix}10& 11& 12\\ 21& 22& 23\end{pmatrix}$ $D=\begin{pmatrix}10& 11& 12\\ 21& 22& 23\end{pmatrix}$
　次の２つの行列は等しくない．すなわち，E≠Fである．（行列の型が異なる．）
$E=\begin{pmatrix}10& -11& 0\\ -21& 22& 0\end{pmatrix}$ $F=\begin{pmatrix}10& -11\\ -21& 22\end{pmatrix}$

○　行列Aの成分の横の並びをAの行（row）といい，上から第i番目の行を第i行という．
$A=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{matrix}\right]$
の第i行(1≦i≦m)は
$\Bigl[\begin{matrix}a_{i1}& a_{i2}& \ldots& a_{in}\end{matrix}\Bigr]$

　また，行列Aの成分の縦の並びをAの列（column）といい，左から第j番目の列をAの第j列という．
$A=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{matrix}\right]$
の第j列(1≦j≦n) は
$\left[\begin{matrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\a_{mj}\end{matrix}\right]$

○　よく現われる特別な行列として，次のようなものがある．
　• 1×n行列をn次の行ベクトル（横ベクトル），m×1行列をm次の列ベクトル（縦ベクトル）という．
　行列Aの第j列ベクトル
$a_j=\left[\begin{matrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\a_{mj}\end{matrix}\right]$
を束ねると
$A=\Bigl[\begin{matrix}a_{1}& a_{2}& \ldots & a_{n}\end{matrix}\Bigr]$
と書ける．

　• すべての成分が0であるm×n行列を零行列（zero matrix）といい，0m,nで表わすが，型が明らかな場合は0と書く．
例２　2×3型の零行列は
$0_{2,3}=\begin{pmatrix}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}$

　• 行数と列数が等しい行列を正方行列（square matrix）といい，n×n行列をn次の正方行列という．
例３
$\begin{pmatrix}1& -2\\ -3& 4\end{pmatrix}$
は2次の正方行列である．

　• 対角線上にある成分（右下がりの対角線，すなわち行番号と列番号が等しい成分）　a11，a22，… ，annを対角成分という．
　特に，正方行列であって，かつ，対角成分以外のずべての成分が0であるような行列を対角行列（diagonal matrix）という．（対角成分は，何でもよい．）
例４
　次の行列Aの対角成分は，3，0，1，行列Bの対角成分は，4，3，0，1であり，Aは対角行列でなく，Bは対角行列である．
$A=\begin{pmatrix}3& 4& 5\\ 2& 0& -2 \\ -1& 5& 1\end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix}4& 0& 0 & 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$

　• 対角成分がすべて1となる対角行列を単位行列（identity matrix，unit matrix）という．n次の単位行列をEnで表わし，次数が明らかなときは，Eで表わす．
例５
$E_2=\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$
$E_3=\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$

　• 対角成分がすべて等しい対角行列をスカラー行列（scalar matrix）という．スカラー行列はkEの形に表せる．
例６　次の行列はスカラー行列である．
$\begin{pmatrix}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{pmatrix}$ $=3\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}=3E$

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