微分法まとめ

== 微分公式のまとめ ==

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○　いろいろな関数の微分

○　整関数，有理関数
(1) 　y=xn　（ｎは正の整数） → y’=nxn−1
(2) 　y=x−n （ｎは正の整数） → y’= −nx−n−1
(3) 一般に y=xa (aは正負の実数) → y’=axa−1

※ a=0 すなわち y=1 の場合も結果はこれでよいが，y=k(定数) → y’=0 は分けて覚えるとよい．)

例
(1)　y=x7　→ y’=7x6
(2)　y=x−5 → y’= − 5x− 6
(3)　 $y=x^{\frac{1}{2}}\hspace{5}\rightarrow\hspace{5}y\apos=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

○　指数関数
(4)　 y=ex → y’=ex
(5)　 y=ax → y’=axloga

(4)の合成　y=e3x → y’=3e3x
(5)　y=10x → y’=10xlog10

○　対数関数
(6)　 y=log|x| → y’=

(7) 　y=logax → y’=

(6)の合成　y=log3x → y=logx+log3 → y’=

(7)　y=log10x→ y’=

○　三角関数
(8) 　y=sinx → y’=cosx
(9) 　y=cosx → y’= − sinx
(10) 　y=tanx → y’=

(8)の合成　y=sin3x → y’=3cos3x
(9)の合成　y=cos3x → y’= − 3sin3x

(10)の合成　y=tan3x → y’=

○　積，商，合成関数，逆関数，陰関数の微分法
(11) 　y=f(x)g(x) → y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

(12) 　y= → y’=

(13) 　 =

(14) 　=

(15) 　f(x, y)=k の形で与えられる方程式については，両辺をそのままx で微分するとよい．

例
(11)
i)　y=exsinx → y’=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)

ii)　y=(x2+1)logx → y’=2xlogx+(x2+1)

　　=
(12)
i)　　y=

→ y’=

= =

ii)　　y= → y’= =

(13)
i)　　y=log(sinx)　(0<x<π)

　　　y=logt
　　　　　　　　t=sinx
　　　------------
　　　= =cosx = = cot x

（なお，=tanx，= cot x と書く．）

ii)　　y=cos34x
　　　y=t3
　　　　　t=coss
　　　　　　　　　s=4x
　　　------------
　==3t2(−sins)4=−12cos24xsin4x

(14)
　　y=arcsin　(−<x<)

　　　⇔　=siny ⇔ x = 2siny
= 2cosy = 2=

　　　=

(15)
　　x3+y3=1

　　(x3+y3)=(1)

　　3x2+3y2 =0

　　=−