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== 定積分の部分積分法,置換積分法 ==
○ 定積分の部分積分法

 定積分の部分積分法は,次の公式によって行う.


 ただし,f’(x), g’(x) は各々f(x), g(x) の導関数


------
xを微分すると1になる(次数が下がる)ことに着目する.
微分する側 f(x)=x f’(x)=1
積分する側 g(x)=cosx g’(x)=sinx
------

(原式)=

短答問題

次の定積分を求めよ.(入力は半角数字…計算用紙:必要)
(1)
=…=.e2+nnnnn


(2)
=…=
(3)
=…=
(4)
=…=−.nnn


○ 定積分の置換積分法

 定積分の置換積分法では,

(1) 被積分関数
(2) 積分変数
  
(3) 積分区間
の3箇所を書き換える.

※定積分は,積分区間の下端・上端の値を代入すると定数になるので,不定積分の置換積分法とは異なり,変数を元に戻す必要はない.


2x−1=tとおく
.dtdxnn=2dx =.dt2nn
x 1 → 2
t 1 → 3

(原式)
例と答
(1) 

1−x=tとおく

.dtdxnn=−1dx=−dt
x 0 → 1
t 1 → 0

(原式)

(2) 

x=3sintとおく
x 0 → 3
t 0 →

=3cost (0≦t≦.π2n のとき cost≧0 )
.dxdtnn= 3costdx = 3cost dt

(原式)


(3) 

x2+1=tとおく
.dtdxnn= 2xdx=.dt2xnn
x 0 → 1
t 1 → 2

(原式)

(4) 
x=tantとおく
x 0 → 1
t 0 → .π4n

.11+x2nnnn=.11+tan2tnnnnnnn=cos2t

.dxdtnn=.1cos2tnnnnndx = .dtcos2tnnnnn


(原式)

短答問題

 次の定積分を求めよ.(入力は半角数字…計算用紙:必要)
(1) =…= .√nnni  

(2) 
=…=.nnnnπ



(3) 
=…=.1nn



(4) 
=…=.πnn



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