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== 指数関数(1) ==
○ 負の指数,分数指数の定義

a0とする.(分母が0とならないようにするため)
(1) a0=1
(2) を正の整数とするとき,
(3) を正の整数とするとき,
(*) 「負の分数」が指数であるときは,上記(2)(3)の組合わせによる.


(要約すると)

 負の指数 → 分数
 分数の指数 → 累乗根


となるが,次のような混乱が多いので注意
分数の指数が,分数になるということではない

負の指数が,分数の指数に等しいということではない

例1
(1) 20=1 ,30=1
(2) 2-3= =  ,3-2 = =

(3) 4==2,5 =
(なお,通常,2乗根の記号は の代わりにと書く)
n乗根の記号はnが省略されたら,0でもなく,1でもなく,2の略(←数学では珍しい)

説明
(1) 指数法則am÷an=am−nが成り立つように,指数0を定義する:
   m=n=3 のときを例にとって解説:
  [指数法則からは] a3÷a3 = a3−3 = a0

  [意味からは] = 1

  そこで a0 = 1と定義すれば指数法則が常に成り立つようにできる.
(2)  指数法則am÷an = am−nが成り立つように,負の指数を定義する:

   m=2, n=5 のときを例にとって解説:
  [指数法則からは] a2÷a5=a2−5 = a−3

  [意味からは]  =

  そこで a−3=と定義すれば指数法則が常に
成り立つようにできる.
(3)  指数法則 (am )n = amnが成り立つように,分数の指数を定義する:

   m=4 , n=3 のときを例にとって解説:
  [指数法則からは](ax)3=a3x=a4のときx=
  [意味からは] ()3=a4

  そこで a=と定義すれば指数法則が常に成り立つようにできる.

■即答問題■
(1) 次の値を求めよ.
(半角数字で答えること)
・ 4−2 =  

・ 10−1 =  

・ 50 =  
 
(2) 次の値を累乗根の形で表せ.
(半角数字を書き込むこと)
• 

•     

•     


○ 指数法則と指数計算

○ p, qを有理数(正負の整数や分数)とするとき,次の指数法則が成り立つ.(証明略)
(1) apaq = ap+q  (2) ap÷aq=ap−q
(3) (ap)q=apq
(4) (ab)p=apbp  (5) ()p=

 指数計算を行うには,右の例のように,途中経過は「負の指数」や「分数の指数」を用いて機械的に行うとよい.

 高校では,指数の意味が分かっているかどうかを確かめるために,最終形を「分数」や「累乗根」の形で答えることが多いが,以下の問題では,最終形も「負の指数」や「分数の指数」で答えてよい.
例2
  • a7÷a−3×a2=a7−3−2=a2
  • (ab2)−1÷(a−2b)2=(a−1b−2)÷(a−4b2)
    =a−1+4b−2−2=a3b−4
数値計算では,素因数分解して表わすとよい.
  • 68×12−2÷183=(2×3)8÷(22×3)−2×(2×32)3
    = 28−4−3×38−2−6= 2×30=2
累乗根を分数指数で表わすと,累乗根の掛け算・割り算は,指数の分数の足し算・引き算になる.





■即答問題■
(1) 次の値を求めよ.
(半角数字を書き込むこと)
・ 2−3×24÷2−2= 2−3+4−(−2) =2 =

・ (42)−1×4−1×(4−1)−3=4−2−1+3 =4 =

・ 273÷81−2×9−8
=(33)3÷(34)−2×(32)−8= 39−(−8)+(−16)
=3 =
(2) 次の計算をせよ.

 




=3= 



 

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