４　行列の演算

○　行列の和と差　　２つの行列の和と差は，行列の型が同じ場合のみ定義され，各成分の和および差を成分とする行列として定義される．
$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix}b_{11}& b_{12}&\ldots& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \ldots& b_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m1}& b_{m2}&\ldots & b_{mn}\end{pmatrix}$
$=\left(\begin{matrix}a_{11}+ b_{11}& a_{12}+ b_{12}\\ a_{21}+ b_{21}& a_{22}+ b_{22}\\ \vdots& \vdots\\a_{m1}+ b_{m1}& a_{m2}+ b_{m2}\end{matrix}$ $\begin{matrix}&\ldots& a_{1n}+ b_{1n}\\& \ldots & a_{2n}+ b_{2n}\\& \ddots&\vdots\\& \ldots& a_{mn}+ b_{mn}\end{matrix}$ $\Biggr)$

$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix}b_{11}& b_{12}&\ldots& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \ldots& b_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m1}& b_{m2}&\ldots & b_{mn}\end{pmatrix}$
$=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}\\ \vdots& \vdots\\a_{m1}-b_{m1}& a_{m2}-b_{m2}\end{matrix}$ $\begin{matrix}&\ldots& a_{1n}-b_{1n}\\& \ldots & a_{2n}-b_{2n}\\& \ddots&\vdots\\& \ldots& a_{mn}-b_{mn}\end{matrix}$ $\Biggr)$
例１
$\begin{pmatrix}3& 4& 5\\ 2& 0& -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2& 0& -2\\ -1& 5& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}5& 4& 3\\ 1& 5& -1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3& 4& 5\\ 2& 0& -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2& 0& -2\\ -1& 5& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}1& 4& 7\\ 3& -5& -3\end{pmatrix}$
○　ベクトルのスカラー倍と同様に，行列 A のスカラー倍 kA は， A の各成分をk倍したものを成分とする行列として定義される．
$k\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}ka_{11}& ka_{12}&\ldots& ka_{1n}\\ ka_{21}& ka_{22}& \ldots& ka_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ ka_{m1}& ka_{m2}&\ldots & ka_{mn}\end{pmatrix}$
例２
$\sqrt{2}\begin{pmatrix}5& 2\sqrt{2}& 3\\ 1& 5& -\sqrt{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\sqrt{2}& 4& 3\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 5\sqrt{2}& -2\end{pmatrix}$

[1]　 Aの列数とBの行数が等しいときだけ定義され， l×m行列とm×n行列との積は，l×n行列となる．
[2]　 Aのi行ベクトルとBのj列ベクトルの内積がABの(i, j)成分となる．

例４　次の積は定義されない：3×4型・2×3型
$\begin{pmatrix}3& 0& 1 & 0\\ 0& 4& 2& 3\\ 2& 0& 3& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}$
※　上の例３，４の違いから分かるように，行列の積についてはABが定義されても，BAも定義されるとは限らない点に注意．
　また，次の例のようにAB，BAとも定義されても型が異なり，AB≠BAとなる場合がある．AB=BAとなるとき，A，Bは可換であるという．

2×3型・3×2型 → 2×2型
$\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0& 4\\ 2& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18& 8\\ 8& 12\end{pmatrix}$
3×2型・2×3型 → 3×3型
$\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0& 4\\ 2& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12& 6& 9\\ 8& 12& 4\\ 8& 4& 6\end{pmatrix}$

○　ある行列Aと単位行列Eとの積が定義できるとき，その積はつねにAとなる．
　　　m×n型・n×n型：AE=A
$\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}$
　　　m×m型・m×n型：EA=A
$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}$

○　正方行列では，行数と列数が等しいので，tA=Aとなるものが存在する．このような行列を対称行列（symmetric matrixfont>）という．これに対して，tA=−Aとなる正方行列を交代行列という．
例６
$^t\begin{pmatrix}3& 1& 2\\ 1& 4& 7\\ 2& 7& 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3& 1& 2\\ 1& 4& 7\\ 2& 7& 9\end{pmatrix}$ だから $\begin{pmatrix}3& 1& 2\\ 1& 4& 7\\ 2& 7& 9\end{pmatrix}$ は対称行列
$^t\begin{pmatrix}0& -1& 2\\ 1& 0& -7\\ -2& 7& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& 1& -2\\ -1& 0& 7\\ 2& -7& 0\end{pmatrix}$ $=-\begin{pmatrix}0& -1& 2\\ 1& 0& -7\\ -2& 7& 0\end{pmatrix}$ だから $\begin{pmatrix}0& -1& 2\\ 1& 0& -7\\ -2& 7& 0\end{pmatrix}$ は交代行列

(1)　次の計算をせよ．

$\begin{pmatrix}1& 0& 3\\ -2& 5& 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 1& 2\\ 3& 0& 1\end{pmatrix}$

$=\Bigl($

$\Bigr)$

採点するやり直す

$\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$2\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2& 5\end{pmatrix}+ 3\begin{pmatrix}0& 1\\ 3& 0\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 2\\ 3& 4\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$^t\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3& 4\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 1& -1\\ 0& 3\end{pmatrix},\hspace{3}B=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4& 1\end{pmatrix}$ のとき

$AB=\Biggl($

	4
−1
12

$\Biggr)$

採点するやり直す

$C=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1& 0\end{pmatrix},\hspace{3}D=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 1& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}$ のとき

$C\hspace{10}^tD=\Bigl($

3	−1
3		−1

$\Bigr)$

採点するやり直す

(2)　行列 $A=\begin{pmatrix}1& 3\\ 2& 4\end{pmatrix},\hspace{3}B=\begin{pmatrix}1 & 3& 5\\ 2& 4& 6\end{pmatrix},\hspace{3}C=\begin{pmatrix}1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix}$
について，次のうちで演算が定義できるものを選べ．（チェックを付ける）
A+B　， AB−B　， AC−B　， BC
tAB　， AtB　， tAtB　， A+tB

採点するやり直す

(3)　次の等式が成り立つように，定数a, b, cの値を定めよ．
$\begin{pmatrix}a& 0\\ b& c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\ 5& 1\end{pmatrix}$

a=, b=, c=

採点するやり直す

(4)　行列 $A=\begin{pmatrix}a& 0\\ b& 1\end{pmatrix}$ が任意の２次正方行列と可換となるように，定数a, bの値を定めよ．
（考え方）
任意の定数x, y, z, uについて，次の等式が成立すればよい．すなわち，x, y, z, uの恒等式となればよい．
$\begin{pmatrix}a& 0\\ b& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x& y\\ z& u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x& y\\ z& u\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a& 0\\ b& 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}ax& ay\\ bx+ z& by+ u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+ by& y\\ az+ bu& u\end{pmatrix}$
a=, b=

採点するやり直す

(5)　次の関係を，言葉で表現しているものを下から選べ　：　tA=A　→　t(A2)=A2
対角行列の２乗は対角行列となる．　　転置行列の２乗は転置行列となる．
対称行列の２乗は対称行列となる．　　交代行列の２乗は交代行列となる．
転置行列の２乗は元の行列に等しい．　

採点するやり直す