三角関数の加法定理，倍角公式

== 三角関数(2) ==
○　はじめに

　多項式の展開とは異なり，三角関数において（　）をはずす変形は簡単ではない．例えば，次のような変形はできない．

$\sin(\alpha+\beta)$ $\rightarrow\times\times\rightarrow$ $\sin\alpha+\sin\beta$
$\cos(2\alpha)$ $\rightarrow\times\times\rightarrow$ $2\cos\alpha$

　このページでは，はじめに，sin(α+β)，cos(α+β)などの　（　　）をはずす公式「三角関数の加法定理」を解説し，その応用として「２倍角公式」「３倍角公式」「積和の公式」「和積の公式」を解説する．

○　三角関数の加法定理

［要点］

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ･･･(1)
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ ･･･(2)

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ ･･･(3)
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ ･･･(4)

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ ･･･(5)
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$ ･･･(6)

(1)(2)の証明･･･（以下の証明は第1象限の場合についてのものであるが，この公式は，α，βが任意の角の場合でも成立する．）

　図において，∠AOB=α，∠BOC=β，AO=1とするとき，点Aのx座標がcos(α+β)，y座標がsin(α+β)となる．
x=OE=OC−BD=cosα cosβ−sinαsinβ→(1)
y=AE=AD+DE=sinαcosβ+cosαsinβ→(2)

　公式(1)(2)は必ず言えるようにし，残りは短時間に導けるようにする．（何度も使ううちに(3)以下を覚えてしまっても構わない．）

(3)(4)の証明
(3)←
$\sin(\alpha-\beta)$

引き算は符号が逆の数の足し算と同じ

$=\sin\{\alpha+(-\beta)\}$
$=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$

$\cos\theta$ は偶関数： $\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\sin\theta$ は奇関数： $\sin(-\theta)=-\sin\theta$

$=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ 　…(3)証明終わり■

(4)←
$\cos(\alpha-\beta)$

引き算は符号が逆の数の足し算と同じ

$=\cos\{\alpha+(-\beta)\}$
$=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$

$\cos\theta$ は偶関数： $\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\sin\theta$ は奇関数： $\sin(-\theta)=-\sin\theta$

$=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ 　…(4)証明終わり■

(5)(6)の証明
(5)←
$\tan(\alpha+\beta)$

三角関数の相互関係： $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$

(1)(2)の結果を使う

$=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$

分母分子を $\cos\alpha\cos\beta$ で割る

$=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$
$=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ 　…(5)証明終わり■

(6)←
$\tan(\alpha-\beta)$

引き算は符号が逆の数の足し算と同じ

$=\tan\{\alpha+(-\beta)\}$

(5)の結果を使う

$=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}$

$\tan\theta$ は奇関数： $\tan(-\theta)=-\tan\theta$

$=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$
　…(6)証明終わり■

　次の図において，下半分の桃色の三角形の辺の長さの比を，上半分の水色の三角形の比で表すと，偶関数・奇関数の性質が分かる．

$\sin(-\theta)=\frac{-y}{r}=-\frac{y}{r}=-\sin\theta$
$\cos(-\theta)=\frac{x}{r}=\cos\theta$
$\tan(-\theta)=\frac{-y}{x}=-\frac{y}{x}=-\tan\theta$

即答問題　　　次の各式と等しいものを下から選べ．

　はじめに上の式を選び，続いて下の式を選べ．（合っていれば消える．） sin(α+β)
cos(α+β)
sin(α−β)
cos(α−β)
cos(45°+30°)
cos(60°+45°)
sin(60°+ 45°)
[ 完 ]

sinα sinβ+cosα cosβ
sinα cosβ+cosα sinβ
cosα sinβ+sinα cosβ
cosα cosβ+sinα sinβ
sinα sinβ−cosα cosβ
sinα cosβ−cosα sinβ
cosα sinβ−sinα cosβ
cosα cosβ−sinα sinβ

−

○　倍角公式

［要点］

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ ･･･(7)
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ ･･･(8)
$=2\cos^2\alpha-1$ ･･･(9)
$=1-2\sin^2\alpha$ ･･･(10)
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ ･･･(11)

（証明）
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ･･･(1)
において，α=βとおくと，
sin2α=2sinα cosα →(7)

cos(α+β)=cosα cosβ−sinαsinβ･･･(2)
において，α=β とおくと，
cos2α=cos2α−sin2α →(8)

(8)においてsin2α=1−cos2αを代入すると，
cos2α=2cos2α−1 →(9)

(8)においてcos2α=1−sin2αを代入すると，
cos2α=1−2sin2α →(10)

tan(α+β)= ･･･(5)
において，α=β とおくと，
tan2α= →(11)

○　半角公式

［要点］

$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$ ･･･(12)
$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ ･･･(13)
$\tan^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$ ･･･(14)

　半角公式は，次の形で示されることもある．±は，象限に応じて一方の符号を選ぶことを表わす． $\alpha$ を $2\alpha$ で表すのと， $\frac{\alpha}{2}$ を $\alpha$ で表わすのとでは，対応関係は同じだから，好きな方を使えばよい．

$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}$ ･･･(12’)
$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}$ ･･･(13’)
$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$ ･･･(14’)

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$ ･･･(12”)
$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$ ･･･(13”)
$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ ･･･(14”)

(9)(10)を変形すれば→(12)(13)
(12)÷(13)により→(14)

○　３倍角公式
　２倍角公式と加法定理を組み合わせると，次の公式ができる．　

［要点］

$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$ ･･･(15)
$\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$ ･･･(16)
$\tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$ ･･･(17)

(15)←
sin(2α+α)=sin2α cosα+cos2α sinα
=2sinαcos2α+(1−2sin2α)sinα
=2sinα ( 1−sin2α)+(1−2sin2α)sinα
=3sinα −4sin³α　…(15)証明終わり■

(16)←
cos(2α+α)=cos2α cosα−sin2α sinα
=(2cos2α−1 )cosα−2sin2α cosα
=(2cos2α−1 )cosα−2(1−cos2α) cosα
=4cos3α−3cosα　…(16)証明終わり■

(17)←
$\tan(2\alpha+\alpha)=\frac{\tan2\alpha+\tan\alpha}{1-\tan2\alpha\tan\alpha}$
$=\frac{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}+\tan\alpha}{1-\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\tan\alpha}$
$=\frac{2\tan\alpha+\tan\alpha(1-\tan^2\alpha)}{(1-\tan^2\alpha)-2\tan\alpha\cdot\tan\alpha$
$=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$ 　…(17)証明終わり■

即答問題　　次の各式と等しいものを下から選べ．

　はじめに上の式を選び，続いて下の式を選べ．（合っていれば消える．）

sin2α　　cos2α　　sinα　　cos2α

sin22.5°　　cos105°

［完］

（※　±は，いずれかの符号を選ぶことを表わす．）

2sinα cosα
sin2α−cos2α　　　cos2α−sin2α

○　積和の公式（積を和に直す公式）

［要点］

sinα cosβ={sin(α+β)+sin(α − β)}･･･(18)

cosα sinβ={sin(α+β)−sin(α−β)}･･･(19)

cosα cosβ={cos(α+β)+cos(α−β)}･･･(20)

sinα sinβ=− {cos(α+β)−cos(α−β)}･･･(21)

○　和積の公式（和を積に直す公式）

［要点］

sinA+ sinB = 2 sincos･･･(22)

sinA−sinB = 2 cossin･･･(23)

cosA+ cosB = 2 coscos･･･(24)

cosA−cosB=−2 sinsin･･･(25)

（証明）
　 sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ･･･(1)
+) sin(α−β)=sinα cosβ−cosα sinβ･･･(3)
--------------------------
sin(α+β)+sin(α−β)=2sinα cosβ→(18)

　　sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ･･･(1)
−) sin(α−β)=sinα cosβ−cosα sinβ･･･(3)
--------------------------
sin(α+β)−sin(α−β)= 2cosα sinβ→(19)

　 cos(α+β)=cosα cosβ - sinα sinβ･･･(2)
+) cos(α−β)=cosα cosβ+ sinα sinβ･･･(4)
--------------------------
cos(α+β)+cos(α−β)=2cosα cosβ→(20)

　　cos(α+β)=cosα cosβ - sinα sinβ･･･(2)
−) cos(α−β)=cosα cosβ+ sinα sinβ･･･(4)
--------------------------
cos(α+β)−cos(α−β)= −2sinα sinβ→(21)

(18)〜(21)において，α+β=A，α−β=Bとおくと，
α=，β=→(22)〜(25)

即答問題　　次の各式と等しいものを右から選べ．

　はじめに左の式を選び，続いて右の式を選べ．（合っていれば消える．）

sinα cosβ　cosα cosβ　　sinα sinβ　　cosαsinβ
cosA−cosB　　sinA−sinB　　cosA+cosB　　sinA+sinB

［完］

{sin(α+β)+sin(α−β)}　

{sin(α+β)−sin(α−β)}

{cos(α+β)+cos(α−β)}
−

{cos(α+β)−cos(α−β)}
2sin(α+β)sin(α−β)　　2cos(α+β)cos(α−β)

2sin

　　2cos

2cos

　　− 2sin