定積分の部分積分，置換積分

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== 定積分の部分積分法，置換積分法 == ○　定積分の部分積分法

　定積分の部分積分法は，次の公式によって行う．
$\int_a^bf(x)g\apos(x)dx=\Bigl[f(x)g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^bf\apos(x)g(x)dx$

　ただし，f’(x), g’(x) は各々f(x), g(x) の導関数

例
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=\Bigl[f(x)g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^bf\apos(x)g(x)dx$
------
xを微分すると1になる（次数が下がる）ことに着目する．

微分する側	f(x)=x	→	f’(x)=1
積分する側	g(x)=−cosx	←	g’(x)=sinx

------

（原式）= $\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx$
$=(0-0)+\Bigl[\sin x\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$

短答問題

次の定積分を求めよ．(入力は半角数字…計算用紙：必要)
(1)

微分する側	f(x)=log x	→	f ’(x)=
積分する側	g(x)=	←	g’(x)= x

------
（原式） $=\Bigl[\frac{x^2}{2}\log x\Bigr]_1^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx$
$=(\frac{e^2}{2}-0)-\int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx$
$=\frac{e^2}{2}-\Bigl[\frac{x^2}{4}\Bigr]_{1}^{e}=\frac{e^2}{2}-(\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4})$
$=\frac{e^2+ 1}{4}$

(2)

微分する側	f(x)=log x	→	f ’(x)=
積分する側	g(x)= x	←	g’(x)= 1

------
（原式） $=\Bigl[x\log x\Bigr]_1^{e}-\int_{1}^{e}x\cdot\frac{1}{x}dx$
$=(e-0)-\int_{1}^{e}dx$
$=e-\Bigl[x\Bigr]_{1}^{e}=e-(e-1)=1$

(3)

微分する側	f(x)= x	→	f ’(x)=1
積分する側	g(x)= ex	←	g’(x)= ex

------
（原式） $=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx$
$=(e-0)-\Bigl[e^x\Bigr]_{0}^{1}=e-(e-1)=1$

(4)

微分する側	f(x)= x−3	→	f ’(x)=1
積分する側	g(x)=	←	g’(x)= (x−1)2

------
（原式） $=\Bigl[(x-3)\frac{(x-1)^3}{3}\Bigr]_1^{3}-\int_{1}^{3}\frac{(x-1)^3}{3}dx$
$=0-\Bigl[\frac{(x-1)^4}{12}\Bigr]_{1}^{3}=-(\frac{16}{12}-0)=-\frac{4}{3}$

○　定積分の置換積分法

　定積分の置換積分法では，

(1)　被積分関数

$\int_{a}^{b}\fbox{f(x)}dx$

(2)　積分変数

$\int_{a}^{b}f(x)\fbox{dx}$ 　　

(3)　積分区間

$\int_{\fbox{a}}^{\fbox{b}}f(x)dx$

の３箇所を書き換える．

※定積分は，積分区間の下端・上端の値を代入すると定数になるので，不定積分の置換積分法とは異なり，変数を元に戻す必要はない．

例
$\int_{1}^{2}(2x-1)^3dx$

2x−1=tとおく

=2 → dx =

x	1 → 2
t	1 → 3

（原式） $\int_{1}^{3}t^3\cdot\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\Bigl[\frac{t^4}{4}\Bigr]_1^3=\frac{1}{2}\left(\frac{81}{4}-\frac{1}{4}\right)=10$

例と答
(1)　
$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x}dx$

1−x=tとおく
$\sqrt{1-x}=t^{\frac{1}{2}}$

=−1 → dx=−dt

x	0 → 1
t	1 → 0

（原式） $=\int_1^0t^{\frac{1}{2}}(-dt)=\int_0^1t^{\frac{1}{2}}dt$
$=\Bigl[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\Bigr]_0^1=\frac{2}{3}$

(2)　
$\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^2}dx$

x=3sintとおく

x	0 → 3
t	0 → $\frac{\pi}{2}$

$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\hspace{1}\sin^2t}=\sqrt{9(1-\sin^2t)}$
=3cost　(0≦t≦ のとき cost≧0 )

= 3cost → dx = 3cost dt

（原式） $=\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\cos t\cdot 3\cos t\hspace{1}dt$
$=9\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 tdt$
$=9\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{9}{2}\Bigl[t+\frac{\sin 2t}{2}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{9\pi}{4}$

(3)　
$\int_{0}^{1}2x(x^2+ 1)^3dx$

x2+1=tとおく

= 2x → dx=

x	0 → 1
t	1 → 2

（原式） $\int_{1}^{2}2xt^3\frac{dt}{2x}=\int_{1}^{2}t^3dt$
$=\Bigl[\frac{t^4}{4}\Bigr]_1^2=\frac{15}{4}$

(4)　
$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+ x^2}dx$

x=tantとおく

x	0 → 1
t	0 →

==cos2t

= → dx =

（原式） $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2t\cdot\frac{1}{\cos^2t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dt$
$=\Bigl[t\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}$

短答問題

　次の定積分を求めよ．(入力は半角数字…計算用紙：必要)

3−x=tとおく
$\sqrt{3-x}=t^{\frac{1}{2}}$

=−1 → dx=−dt

x	0 → 3
t	3 → 0

（原式） $=\int_3^0t^{\frac{1}{2}}(-dt)=\int_0^3t^{\frac{1}{2}}dt$
$=\Bigl[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\Bigr]_0^3=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

(2)　

x=5sintとおく

x	0 → 5
t	0 →

$\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-25\sin^2t}$
$=5\sqrt{1-\sin^2t}=5\cos t$
　(0≦t≦ のとき cost≧0 )

=5cost → dx=5costdt

（原式） $=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}5\cos t\cdot 5\cos tdt$
$=25\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 tdt=25\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2t}{2}dt$
$=\frac{25}{2}\Bigl[t+\frac{\sin 2t}{2}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{25}{2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{25}{4}\pi$

(3)　

logx=tとおく

x	1 → e
t	0 → 1

= → dx=xdt

（原式） $=\int_{0}^{1}\frac{t}{x}\cdot xdt=\int_{0}^{1}tdt=\Bigl[\frac{t^2}{2}\Bigr]_0^1=\frac{1}{2}$

(4)　

x=2tantとおく

x	1 → 2
t	0 →

===

= → dx=

（原式） $=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2t}{4}\cdot\frac{2dt}{\cos^2t}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dt$
$=\frac{1}{2}\Bigl[t\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$

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