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== 不定積分 ==

○ はじめに

 x2を微分すると2xになるが,x2+1x2+2x2+3,…の微分も2xとなる.
 一般に,微分して2xとなる元の関数は,x2+CCは任意定数)と書ける.
 このとき,2xの不定積分は,x2+Cであるといい,
と書く.
(任意定数が定まらないので,不定積分と呼ばれる.)

○ 不定積分

 一般に,F’(x)=f(x)のとき,微分して関数f(x)となる元の関数F(x)f(x)の原始関数といい,

n f(x)dx=F(x)+C

f(x)の不定積分という.
 すなわち,F(x)=f(x) ⇔ nf(x)dx=F(x)+C
※高校の教科書では,F’(x)=f(x)のとき,F(x)f(x)の(1つの)原始関数といい,任意定数Cを付けた式F(x)+Cを不定積分ということが多い.
※また,他方で
n f(x)dx=F(x)+C
を原始関数または不定積分と定義して,原始関数と不定積分を全く同じ意味に用いる教科書もある.


(x3) = 3x2 ⇔  n3x2dx=x3+C

(sinx) =cosx ⇔  ncosx dx=sinx+C

(ex) = ex ⇔  nexdx=ex+C

○ 不定積分の公式

 次の各微分公式から,不定積分の公式が得られる.(これらの公式は,不定積分を微分すれば証明できる.)
…(1)

(ただし,とする)
…(2)

…(3)

…(4)
(ただし,

…(5)

…(6)

…(7)

…(8)

…(9)

 
 また,F’(x)=f(x)G’(x)=g(x)のとき次の公式が成り立つ.

…(ⅰ)


…(ⅱ)



(1) 無理関数の不定積分は有理指数(分数の指数)に直せば計算できる.




(2) 分数関数の不定積分では,部分分数分解の利用も考える.


(3) 三角関数の積や累乗の不定積分では,積を和に直すことを考える.




短答問題

次の空欄を埋めよ.(半角数字で!)
(1)
=+C
(2)
=+C
(3)
=
(4)
=
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