指数関数

== 指数関数(1) ==

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○　負の指数，分数指数の定義

a≠0とする．（分母が0とならないようにするため）
(1)　a⁰=1
(2)　 $n$ を正の整数とするとき， $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
(3)　 $m,\hspace{2}n$ を正の整数とするとき， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
(*)　「負の分数」が指数であるときは，上記(2)(3)の組合わせによる．
$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

(要約すると)

　負の指数　→　分数
　分数の指数　→　累乗根

となるが，次のような混乱が多いので注意

分数の指数が，分数になるということではない

$a^{\frac{1}{n}}\rightarrow\times\leftarrow\frac{1}{a^n}$

負の指数が，分数の指数に等しいということではない

$a^{-n}\rightarrow\times\leftarrow a^{\frac{1}{n}}$

例1
(1)　2⁰=1　，3⁰=1
(2)　2^-3= = 　，3^-2 = =

(3)　4==2，5 =
（なお，通常，２乗根の記号はの代わりにと書く）

ｎ乗根の記号 $\sqrt[n]{a}$ はｎが省略されたら，0でもなく，1でもなく，2の略（←数学では珍しい）

説明
(1) 指数法則a^m÷aⁿ=a^m−nが成り立つように，指数0を定義する：
　　m=n=3 のときを例にとって解説：
　　［指数法則からは］　a³÷a³ = a³⁻³ = a⁰

　　［意味からは］　= 1

　　そこで　a⁰ = 1と定義すれば指数法則が常に成り立つようにできる．
(2)　指数法則a^m÷aⁿ = a^m−nが成り立つように，負の指数を定義する：

　　m=2, n=5 のときを例にとって解説：
　　［指数法則からは］　a²÷a⁵=a²⁻⁵ = a⁻³

　　［意味からは］　　=

　　そこで　a⁻³=と定義すれば指数法則が常に

成り立つようにできる．
(3)　指数法則 (a^m)ⁿ = a^mnが成り立つように，分数の指数を定義する：

　　m=4 , n=3 のときを例にとって解説：
　　［指数法則からは］(a^x)³=a^3x=a⁴のときx=
　　［意味からは］　()3=a4

　　そこで　a=と定義すれば指数法則が常に成り立つようにできる．

■即答問題■

(2)　次の値を累乗根の形で表せ．
（半角数字を書き込むこと）

○　指数法則と指数計算

○　p, qを有理数（正負の整数や分数）とするとき，次の指数法則が成り立つ．（証明略）
(1)　apaq = ap+q　　(2)　ap÷aq=ap−q
(3)　(ap)q=apq
(4)　(ab)p=apbp　　(5)　()p=

　指数計算を行うには，右の例のように，途中経過は「負の指数」や「分数の指数」を用いて機械的に行うとよい．

　高校では，指数の意味が分かっているかどうかを確かめるために，最終形を「分数」や「累乗根」の形で答えることが多いが，以下の問題では，最終形も「負の指数」や「分数の指数」で答えてよい．

例2

a7÷a−3×a2=a7−3−2=a2
(ab2)−1÷(a−2b)2=(a−1b−2)÷(a−4b2)
=a−1+4b−2−2=a3b−4

数値計算では，素因数分解して表わすとよい．

68×12−2÷183=(2×3)8÷(22×3)−2×(2×32)3
= 28−4−3×38−2−6= 2×30=2

累乗根を分数指数で表わすと，累乗根の掛け算・割り算は，指数の分数の足し算・引き算になる．

$\sqrt[3]{a^2}\div\sqrt[4]{a^3}$ $\times\sqrt{a}$
$=a^{\frac{2}{3}}\div a^{\frac{3}{4}}\times a^{\frac{1}{2}}$
$=a^{\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}$
$=a^{\frac{5}{12}}$

■即答問題■

(2)　次の計算をせよ．

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