積の微分法，商の微分法，合成関数の微分法

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=積の微分法，商の微分法，合成関数，逆関数の微分法= ○　はじめに

　このページでは，個々の関数の微分が分かるときに，それらの関数の積，商，合成関数，逆関数で表わされる関数の微分を求める方法を学ぶ．

（必要となる場面）
(1) y = x+1の微分はy’=1，y = x2+1の微分はy’=2x
　　･･それでは，y = (x+1)(x2+1) の微分は？

(2) y = xの微分はy’=1，y = x2 + 1の微分はy’=2x
　　･･それでは，y = の微分は？

(3) y = x3の微分はy’=3x2，y = x2 + 1の微分はy’=2x
　　･･それでは，y = (x2+ 1)3 の微分は？

○　積の微分法

　関数 y =f(x)，y =g(x)の導関数が分かっているとき，これらの関数の積 y =f(x)g(x) の導関数を f(x)，g(x)，f’(x)，g’(x) で表わす公式を求める．

◇積の微分法の公式◇

$y=f(x)g(x)\rightarrow y\apos=f\apos(x)g(x)+ f(x)g\apos(x)$

◇これを用いれば３個の積についても，公式を作ることができる．

$y=fgh\rightarrow y\apos=f\apos gh+ fg\apos h+ fgh\apos$

（∵　(fgh)’=(fg)’h+(fg)h’=(f’g+fg’)h+(fg)h’
　　　= f ’gh+fg’h+fgh’)

（証明）

$p(x)=f(x)g(x)$ とおくと．
$y\apos=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{p(x+ h)-p(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)g(x+ h)-f(x)g(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)g(x+ h)-f(x)g(x+ h)+ f(x)g(x+ h)-f(x)g(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\{f(x+ h)-f(x)\}g(x+ h)+ f(x)\{g(x+ h)-g(x)\}}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\{\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}g(x+ h)+ f(x)\frac{g(x+ h)-g(x)}{h}\}$
$=f\apos(x)g(x)+ f(x)g\apos(x)$

例と答
(1)　y = x の微分はy’=1，y = x2 の微分はy’=2x
　　であるから，y = x･ x2 すなわち y = x3 の微分は
　　y’=1･x2+x･2x = x2+2x2 = 3x2

(2)　y = x の微分はy’=1，y = x3 の微分はy’=3x2
　　であるから，y = x･x3 すなわち y = x4 の微分は
　　y’=1･x3+x･3x2 = x3+3x3 = 4x3

(*)　一般に，1≦k≦nとなる整数kについて，
　　y = xk についてy’=kxk−1 が成り立つならば，
　　y = xk+1 の微分は
　　y’=(x･xk)’=1･xk+x･kxk−1=xk+kxk=(k+1)xk
　　となるから，すべての正の整数nについて，
(xn)’=nxn−1 ･･･[重要公式] の別の証明が得られたことになる．（前のページで示した証明は，二項展開を用いる証明）

(4)　y = (x2+1)(x3+1) の微分を求めよ．

y’= 2x(x3+1)+ (x2+1)3x2
= 2x4+2x+ 3x4+3x2
= 5x4+3x2+2x

yを展開してから行ってもよい．
　y = x5+x3+x2+1
　y’=5x4+3x2+2x

(5)　y = x(x+1)(x+2) の微分を求めよ．

y’= (x+1)(x+2)+x(x+2)+x(x+1)
= x2+3x+2 +x2+2x+x2+x
= 3x2+6x+2

yを展開してから行ってもよい．
　y = x3+3x2+2x
　y’=3x2+6x+2

■短答問題■

　次の関数の導関数を求めよ．
（空欄に半角数字を書き込むこと）
(1)　y =(2x2+3)(3x2+4)

(2)　y =(x+1)(x+2)(x+3)

○　商の微分法

　関数y=f(x)，y=g(x)の導関数が分かっているとき，これらの商

の導関数を f(x)，g(x)，f’(x)，g’(x) で表わす公式を求める．

◇商の微分法の公式◇

y =　→　y’=

（証明）
$p(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ とおくと．
$y\apos=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{p(x+ h)-p(x)}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$
ここで，次のように変形する
$\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)}-\frac{f(x+ h)}{g(x)}$
$+\frac{f(x+ h)}{g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}$
$=f(x+ h)\frac{g(x)-g(x+ h)}{g(x+ h)g(x)}$
$+\frac{f(x+ h)-f(x)}{g(x)}$
$=-\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)g(x)}\{g(x+ h)-g(x)\}$
$+\frac{f(x+ h)-f(x)}{g(x)}$
これにより
$y\apos=-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)}{g(x+ h)g(x)}\cdot\frac{g(x+ h)-g(x)}{h}$
$+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
$=-\frac{f(x)}{g(x)^2}\cdot g\apos(x)+\frac{f\apos(x)}{g(x)}=\frac{f\apos(x)g(x)-f(x)g\apos(x)}{g(x)^2}$

例と答
　次の関数の導関数を求めよ．

(1) 　y =

　（答案）　y’=

　　　　　= =

(2) 　y =

　（答案）　y’=

　　　　　= =

■短答問題■

　次の関数の導関数を求めよ．
（半角数字で記入すること）
(1)　y =

(2)　y =

(3)　y =

(4)　y =

○　合成関数の微分法

　関数 y = f(g(x)) を y = f(t) と t = g(x) の合成関数と考えるとき，

　３個の関数を合成した場合も，同様

(証明)

はを略したものであるが，平均変化率は

有限値÷有限値の，普通の分数であるので，

のように変形することができる．
　次に Δx → 0 の極限を考えるとき，Δt → 0 となる(以下，不連続関数を用いた変換は考えない)ことに注意すると，

= ·

だから

例と答
　次の関数の導関数を求めよ．
(1)　y =(2x+3)⁴

y =t⁴
　　t=2x+3 とおく
--------
=

　　= 4t³･2 =8(2x+3)³　･･･（答）

(2)　y =(x²+x+1)³

y =t³
　　t=x² +x+1 とおく
--------
=

= 3t²･(2x+1)=3(x²+x+1)²(2x+1)･･･（答）

■短答問題■

　次の関数の導関数を求めよ．
（空欄に半角数字を書き込むこと）
(1)　y = (4x−3)⁵

(2)　y = (x²−x+2)⁴

○　逆関数の微分法

xがyの関数として表わされているとき，yをxで微分するには，xをyで微分したものの逆数を取ればよい．(この場合，導関数がyの関数で表わされることもある．)

= （ただし，≠0 ）

(証明)
　微分可能な関数では，Δx → 0のとき，Δy → 0だから，

= = =

例と答

(1)　y= 　(0<x)

y²=xだから
= ==　･･･（答）

(2)　対数関数の微分は，次のように指数関数の微分を用いて計算することもできる．

y=log x ⇔ x=ey

= ==

○　陰関数の微分法
y=2x+1のようにyについて解かれた形になっているものを陽関数，x²+y²=1のようにx，yの関係式で示され，y について解かれた形になっていないものを陰関数という．
　陰関数で表わされているものを微分するには，右の例のように両辺をそのまま微分すればよい．
　yはxの関数と考えて微分する．

例
　x²+y²=1
　両辺をx で微分すると，

(x²+y²)=(1)

2x+(y²)=0

2x+2y=0

=−

（陰関数の微分は，yも用いて表わせばよい．）

■短答問題■

　次の関係式からを求めよ．（結果はy も用いて表わしてもよい．）
（空欄には半角英数字を書き込むこと）
(1)　x²+ xy+y²=1

(2)　2x²−y²=1

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