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== 三角関数(1) ==
○ 弧度法

 小学校以来,角度の単位には円の一周を360°とする60分法に慣れているが,微分積分では,次に述べる弧度法の単位(ラジアン)を用いる.

 右の図1のように,2つの相似図形では対応する辺の長さの比が等しいので「弧の長さ/半径」の比は,図形の大きさによらず扇形の角度だけで決まる.

 そこで,弧度法では
θ = =

を角度の定義とする.(単位はラジアン.ただし,ラジアンは省略してよい.)
図1
 右の図2のように,角度を2倍,3倍,... とすると弧の長さも2倍,3倍,... となり,弧の長さと角度は比例するので,60分法の角度を弧度法の角度に直すには,円周の長さから比例計算で求めるとよい. 図3のように,360°=2(ラジアン),180°=(ラジアン)を基本とする.
により,60分法の角度を弧度法の角度に直す.


(幾つかの例)
60分法 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
弧度法 0
図2
図3

■即答問題■

 次の角度を弧度法に直せ.([Start]を押して,選択肢から選べ)



[ Start ]



○ 一般角

 角度は,小学校以来,図4のように2直線の間の角を分度器で測り,向きは考えなかったが,これを負の角や360°2ラジアン)以上の角度に拡張する.

 図5のように,x軸の正の向きを始線とし,左回り(反時計回り)を正の向き,右回り(時計回り)を負の向きとする.このように,正の角・負の角,360°2ラジアン)以上に拡張した角度を一般角という.一般角を考えるときは,動径(実際の計算に当たっては円周上の点)が角度を表現する.

 角度を定めれば動径は定まるが,図6のように動径を定めても角度はただ1つには定まらず,1周の整数倍の差がある角度は,すべて同じ動径に対応する.
図4
図5
■即答問題■

 次の角度を表わす動径を,右図の円周上の点で示せ.


[ Start ]

○ 動径が表わす一般角

 角度を定めれば動径は定まるが,動径を定めても角度はだた一通りには定まらず,数回転した角度はすべて同じ動径に一致する.そこで,ある動径が表わす1つの角度をα とするとき,動径が表わす一般角θ
(nは整数)
と書くことができる.

例 右の図6の動径OPの表わす一般角は
(nは整数)
となる.
図6

○ 三角関数の定義

 90° までの三角比は,「直角三角形」の辺の長さの比で定義される(図7)が,90° 以上の角度や負の角に対しては「直角三角形」が描けない.


 そこで,一般角の三角関数を定義するときに,動径を代表する円周上の点に対して,r:半径,xx座標(符号付きの正負の数),yy 座標(符号付きの正負の数)として,右の図8のように定義する.

 (ただし,などは分母のx0となるため定義されない.)

 筆算で解く問題のほとんどは,右図9の2つの直角三角形において,斜辺rの長さは正とし,他の2辺 x , y に符号を考えればできる.
図7
図8
図9
○ 三角関数の符号

 半径r はつねに正なので,三角関数の符号は,x ,y の符号で決まる.そこで,動径のある象限が決まれば三角関数の符号は決まる.(右図参照)

 右図から,次の三角関数の値が分かる.









■即答問題■

 次の三角関数の値を右の選択肢から選べ.


    [ 1問 / 全20問 ]
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○ 三角関数の相互関係

 右の図10のような直角三角形においては,ピタゴラスの定理(三平方の定理)により,x2 + y2 = r2が成り立つ.
 xyが負の場合にも,点(xy)と原点との距離の公式から,x2+y2 = r2がいえる.
 この式の両辺をr2で割ると + = 1

 したがって,
・・・(1)
が成り立つ.

 また,

だから
・・・(2)
が成り立つ.
 (1)の両辺をで割ると,
・・・(3)
・・・(4)
 これらの公式により,のうち幾つかが与えられたときに他の値を求めることができる.
図10
 ※ と書く.とは書かない.
 (を表す.)についても同様.この他,・・・の記号も用いられる.


(1) が第2象限の角で,のとき,の値を求めよ.

(答案)  より
2象限の角だから
よって


(2) のときの値を求めよ.

(答案)
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