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== 対数関数(1) ==
○ 対数の定義

[記号]
 ax=bのときxa , bで表わすために新しい記号を導入し,x=logabで表わす.
(対数の英語:logarithmを記号にしたもの)

[用語]
logabについて,aを底,bを真数,logabを対数という.
 対数の記号が表わしている内容は,指数の形に直してみれば分かる.
例1
(1)4=log21624=16
(2)2=log10100102=100
(3)log264=626=64
○ 指数と対数の書き換え

 「指数の形」で書かれた式を「対数の形」に直すときも,逆に「対数の形」で書かれた式を「指数の形」に直すときも,次のように対応させればよい.(指数,対数とも左辺,右辺のどちらにあってもよい.)


例2
次の式を対数の形で表せ.
(1)34=814=log381
(2)5−2=−2=log5

(なお,この問題で,2=log525は,式自体は正しくても,指数を対数に書き換えたものとはならないので不可)

(3)()5=5=log

(なお,この問題で,5=log232は,式自体は正しくても,指数を対数に書き換えたものとはならないので不可)

■即答問題■
I)次の式を対数の形で表せ.
(1)53=125=log

(2)100−1=0.01log=

(3)3=2x=log

(4)8=0.5−3log=

II)次の式を指数の形で表せ.

(1)log416=2=

(2)logpq=r=(小文字で答えること)

(3)2 =log636=

(4)−0.75 =log160.125=



○対数の計算

a0a1,真数>0のとき,対数は次の性質を満たす.
計算に当たっては,(3)〜(6)で変形し,(1)(2)に持ち込むとよい.


(1)loga1=0(2)logaa=1
(3)logaMN=logaM + logaN
(4)loga=logaM−logaN

(5)logaMn =  n logaM



※初歩的な注意
(3)の公式は,積の対数が,対数の和に等しいことを表わしており,次のような公式はない:

×logaMN=loga(M +N)
×loga(M + N)=logaM logaN

(4)についても同様

×=loga(M−N)


×loga=loga(M−N)
[解説]
(1)←:a0=1だからloga1=0が成り立つ.
(底が何であっても,真数が1なら対数は0となる.)
(2)←:a1=aだからlogaa=1が成り立つ.
(底が何であっても,真数と底が同じなら対数は1となる.)
(3)←:
apaq=ap+qだからloga(apaq)=p+q
ここで,
p=logaMap=M
q=logaNaq=N
とおくと,
logaMN=logaM + logaN

(4)←:
ap/aq=ap−qだからloga(ap/aq)=p−q
ここで,
p=logaMap=M
q=logaNaq=N
とおくと,
loga=logaM−logaN

※歴史的には,天文学の計算 (天文学的数字!という) において掛け算,割り算を足し算,引き算に直せるところが対数の魅力であったが,初歩的な計算練習では(3)(4)の変形で,和差を積商に直すと簡単になることが多い.
なお,対数方程式,対数不等式ではほとんどの場合,
和差を積商に直すとうまくいく.
(5)←:
(ap)n=apnだからloga(ap)n=pn
ここで,
p=logaMap=M
とおくと,
logaMn =  n logaM
(底の変換公式)a , b , c0a , c1とする
(6)logab = 

(6)←:
logab=xとおくとax=b
cを底とする両辺の対数をとると
logcax=logcb
x logca=logcb
logalogca=logcb
ゆえに
logab = 
例3
(1)log10100=log10102 (5) =2 log1010 (2) =2

(2) log26 + log2 (3) = log2(6×)=log216

=log224
(5) = 4 log22  (2)
=4


(3) log336−log34 (4) = log3 = log39 =log332

(5) = 2log33 (2) =2
(底の変換公式)
(4) log23 log34 (6) = log23 =log24=log222

(5)
=2 log22=2

(5) log2781 (6) = = (5) = (2) =


(6) log0.54 (6) = = (5) = (2) =−2


■数分問題■
I)次の式を簡単にせよ.
(1)log5125 (5) =3 log55 (2) =

(2)log354 + log3 =

(3) log37−log363 =

(底の変換公式)
(4)log35 log259 =


(5) log25125 =


(6) log0.11000 =

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