置換積分

== 置換積分法 == ○　はじめに

　変数を置き換えて，積分計算を行う方法を置換積分法という．置換積分法は，合成関数の微分法の逆の計算となっている．

［要点］
右の例のように
　(1)　被積分関数
　(2)　dx
の各々を新しい変数を用いて，元の式と等しい式に置き換える．
　(3)　結果は元の変数xで表わす．

※　積分記号∫ n f(x)dx の中に書かれる f(x) を被積分関数という．

例

∫ n (2x+1)3dx
------
2x+1=t とおくと，
　　　被積分関数は，(2x+1)3=t3

　　　=2 だから dx=

------
∫ n (2x+1)3dx = ∫ n t3 = ∫ n t3dt = +C

= +C

例と答

(1)　∫ n e3xdx
------
3x=t とおくと，
　　　被積分関数は，e3x=et

　　　=3 だから dx=

------
∫ n e3xdx = ∫ n et = +C=+C

(2)　∫ n sin 3x dx
------
3x=t とおくと，
　　　被積分関数は，sin 3x=sin t

　　　=3 だから dx=

------
∫ n sin 3x dx = ∫ n sin t = +C=+C

(*)　一般に，∫ n f(x)dx=F(x)+C のとき，

∫ n f(ax+b)dx=F(ax+b)+C

が成り立つ．（ただし，a≠0）
例

∫ n (ax+b)ndx=+C

∫ n eax+bdx=eax+b+C

∫ n sin(ax+b)dx={−cos(ax+b)}+C

※　cos(ax+b)，tan(ax+b) も同様．

(3)　∫ n sin3xcosx dx
------
sin x=t とおくと，
　　　sin3x=t3

　　　※　cos xは保留にしておく．

　　　=cos x だから dx=
------
　∫ n sin3xcosx dx = ∫ n t3 cos x

　　※　cos xは約分で消える．

　　= ∫ n t3 dt = +C = +C

(4)　∫ n dx
------
x2+1=t とおくと，
　　　
　　　※　2xは保留にしておく．

　　　=2x だから dx=
------
　∫ n dx= ∫ n

　　※　2xは約分で消える．

　　= ∫ n =log|t|+C=log(x2+1)+C

（x2+1>0 だから，絶対値記号は不要)

(*)　一般に，分子が分母の微分となっているとき，

∫ ndx=log|f(x)|+C

が成り立つ．
例

∫ ndx=log|sinx|+C

∫ n dx=log(ex+1)+C

短答問題　次の不定積分を計算して空欄を埋めよ．［半角数字(=1バイト文字)を記入］（別途，計算用紙が必要） (1) 　　∫ n (4x−5)6dx=･･･= +C
(2) 　　∫ n =･･･=− +C
(3) 　　∫ n cos(2x+3)dx =･･･= +C
(4) 　　∫ n tan(2x+π)dx =･･･=−log\|cos(2x+π)\|+C
(5)　（計算:やや長い）　　∫ nx dx =･･･=+C
(6) 　　∫ n dx =･･･=+C
(7) 　　∫ n dx =･･･=log(e2x+e−2x)+C
(8) 　　∫ n dx =･･･=log(x2+x+)+C

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