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12 行列式3

○ はじめに
  この節では,余因子というスカラーを定義し,行列式を計算するための余因子展開について述べる.次に,余因子を要素とする余因子行列を定義し,逆行列との関連を述べる.
○ 前節5.2で述べた行列式の値を次数を下げて計算する方法は,次のようになっていた.
または

 この (1,1)成分と残りn−1 次の行列式という組合せで次数を下げる方法は,行の入れ替えを用いると次のように拡張できる.
 (2,1)成分のみ0でなく,他の1列目の成分が0であるとき,
1行と2行を入れ替え

次数が下がる

 一般に,(i,1)成分のみ0でなく,他の1列目の成分が0であるとき,直接i行と1行を入れ替えると,1回で入れ替えできるが,行列成分の並び方が変わって定式化しにくい.これに対して,i行を順次上の行と入れ替えていくと,i−1回の入れ替えで,1行目に来るようにできる.
1つ上の行と入れ換える
0a12a1n
::
:
0ai-1 2ai-1 n
ai1ai2ain
:::
0an2ann
0a12a1n
::
:
ai1ai2ain
0ai-1 2ai-1 n
:::
0an2ann

順次上の行と入れ替える[i−1回]
ai1ai2ain
0a12a1n
::
:
0ai-1 2ai-1 n
:::
0an2ann


 列の入れ替えについても1回の入れ替えで符号が1回変わるから,(i,j)成分のみ0でなく,他のj列目の成分が0であるとき,同様にして,まず第j列を第1列まで順次入れ替えてから,次に第i行を順次第1行まで入れ替えればよい
a11a1 j-10a1n
:0
:
ai1ai j-1aijain
:0:
an1an j-10ann

1つ左の列と入れ換える
a110a1 j-1a1n
:0
:
ai1aijai j-1ain
:0:
an10an j-1ann

順次左の列と入れ替える[ j−1 回]
0a11a1 j-1a1n
0:
:
aijai1ai j-1ain
0::
0an1an j-1ann

aijai1ai j-1ain
0a11a1 j-1a1n
0:
:
0::
0an1an j-1ann

順次上の行と入れ替える[ i−1 回]

aijai1ai j-1ain
0a11a1 j-1a1n
0:
:
0::
0an1an j-1ann

次数が下がる
a11a1 j-1a1n
:
:
::
an1an j-1ann

 行についても同様だから,n−1次の正方行列でaijを除くi行またはj列の他の成分がすべて0のとき,i行とj列を除いたn−1次の行列式で表わすことができる.
a110a1n
:
0
:
aijaijain
:
0:
an10ann
または
a11a1ja1n
:

:
00aij00
:
:
an1anjann

a11a1n
:
:
::
an1ann


○ 余因子の定義
 n次正方行列の第i行と第j列を取り除いて得られるn−1次の正方行列の行列式に(−1)i+jを掛けた(※波線は取り除く部分)
a11a1ja1n
:
:
:aijain
:::
an1anjann

(i, j)余因子という.
例1
とするとき,


(※余因子は行列式なので,スカラー(単なる数)となる.)

余因子Aijを用いると,上に述べた行列式の次数を下げる変形は次の形で表わされる.
a110a1n
:
0
:
aijaijain
:
0:
an10ann
または
a11a1ja1n
:

:
00aij00
:
:
an1anjann


○ 余因子展開
正方行列Aの第j列を

と分けて,行列式の線形性を用いると
a11a1ja1n
:
:
:
ai1aijain
:
:
:
an1anjann

a11a1ja1n
:

:
ai10ain
:

:
an10ann


a110a1n
:

:
ai1aijain
:

:
an10ann


a110a1n
:

:
ai10ain
:

:
an1anjann


となる.これを行列式|A|j列に関する余因子展開という.
 同様にして,行列式|A|i行に関する余因子展開

が得られる.

例2

を第2列で展開すると,




例3

を第1行で展開すると,




○ 余因子行列

 n次正方行列に対し
A余因子行列という.
(※余因子はスカラー(単なる数)であるので,余因子行列は成分を余因子に置き換え,さらに転置した行列であることが重要)

例4
とすると
であるから



例5
とすると



… …

であるから



○ 余因子行列と逆行列は,次の関係を満たす.
ならば
証明
のとき,クラメルの公式を用いてを求めてみる.
とおくと

となればよい.


だから

となればよい.
の第i成分は,
| i列をで置き替えたもの |
( j=1, 2, …, n )
であるが,この式の分子
i
a110a1n
:
:
aj11ajnj
::
an10ann
は,ji列成分が1となっているので,に等しい.
すなわち,

が成り立つ.


○ また,これより次の定理が得られる.
定理7


証明
ア) のとき,上に述べたことから,から

分母を払えば

も同様にして示される.

イ) のとき,
(i, j)成分がであることに注意すると,(i, j)成分は

となるが,
(1) i=jのとき,
 この式は,行列式i行に関する余因子展開と等しく,

(2) ijのとき,
Aの第j行を第i行で置き換えた行列の行列式
ai1aikaini
:
:
ai1aikainj
::
を第j行に関して余因子展開すると,

ところが,この行列式は第i行と第j行が等しいから前節で述べた定理5により,0となる.

例6

の余因子行列と逆行列を求めよ.
(解答)












だから



■確認テスト■ 
(半角数字で答えよ)
(1)
行列 について余因子 を求めよ.
= 
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= 
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(2)
 次の行列式を第1行に関して余因子展開せよ.(結果として得られる行列式の値を書け)
 
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(3)
 次の行列式を第2列に関して余因子展開せよ.(結果として得られる行列式の値を書け)
 
 [途中経過:見る | 隠す]

(4)
 次の行列の余因子行列を求めよ. 

0−12
80
−123



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(5)

のとき,を求めよ.
−10
0−10
0



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