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7 連立1次方程式2

○ 以下においては,拡大係数行列の基本変形を用いて,具体的に連立1次方程式を解く方法をまとめてみる.

例1
x1+x2+x3=3
2x1+3x2+4x3=−1
3x1+5x2+8x3=2

の拡大係数行列 を基本変形すると, となるが,
これは,
x1=8
x2=11
x3=−11
を表わしている.
この例においては,未知数(x1,x2,x3)の個数は n=3,係数行列,拡大係数行列の階数(先頭の 1 の個数)はrank(A)=rank([A])=3となっている.
○ この例のように,rank(A)=nとなるときは,連立1次方程式はただ1つの解が存在する.

例2
(A) 基本変形の結果,拡大係数行列が となるようなときは,
x1+2x2 = 4
    x3=3
    0=0 …注

を表わしており,x1x2 のうちいずれか1つは任意定数とすることができる.

以下においては,先頭の 1 に対応しない未知数 (この例では x2)を任意定数 c とおくことにすれば,先頭の 1 に対応する未知数 (この例では x1x3)について解けることとなる.
x1=42c
x2=c
x3=3
(0=0は成立する)


(B) これに対して,基本変形の結果,拡大係数行列が
となるようなときは,
x1+2x2  = 0
     x3=0
     0=1…注
を表わしており,
第3式0x1+0x2+0x3=1はどんなx1x2x3を持ってきても成立しない.

上記 (A)(B)は,係数行列のうち,すべての成分が0となる行(3行目)について右辺が0であるか否か(注の部分)の相違であるが,これは係数行列の階数(先頭の 1 の個数) rank(A)拡大係数行列の階数(先頭の1の個数)rank([A])が等しいか否かで区別することができる.
 すなわち,上記 (A)においては rank(A)=rank([A])=2 であるが,上記 (B) においては,rank(A)=2であるのに対して,3行目の右辺が1であるからrank([A])=3となる.
 rank(A)=rank([A])<nのときは上記(A) の形となり,n−rank(A)個の任意定数をもつ解が存在する.  
 これに対して,rank (A) ≠ rank ([A]) のときは,上記 (B) の形になるから,連立方程式の解は存在しない.
定理2
(1) 方程式の個数がm個,未知数の個数がn個の連立1次方程式
A=
が解をもつための必要十分条件は
rank(A)=rank([A])
このとき,n−rank(A)個の任意定数を含む解が存在する.
(2) 方程式の個数がm個,未知数の個数がn個の連立1次方程式
A=
ただ1つの解をもつための必要十分条件は
rank(A)=rank([A])=n
○ 例3

 未知数x1x2x3x4x5 の連立1次方程式において,拡大係数行列の基本形が
[A]= となったとき,rank(A)=rank([A])=3だから,解が存在し,5−3=2個の任意定数を含んでいる.
 先頭の1に対応しない未知数をx4=c4x5=c5とおくと,x1=−c4x2=43c5x3=5+c4x4=c4x5=c5となり,

 ベクトルを用いて,
と書くことができる.

○ 例4
 未知数x1x2の連立1次方程式において,拡大係数行列
の基本形が [A]= となるときは,rank(A)=2,rank([A])=3だから,解は存在しない.

○ 例5
 未知数x1x2の連立1次方程式において,拡大係数行列
の基本形が [A]= となるときは,rank(A)=rank([A])=2だから,ただ1つの解が存在し, と表わすことができる.

○ 連立1次方程式A=の定数項(右辺)が零ベクトルであるとき,すなわち,
A=
のとき,この方程式を同次形の連立1次方程式という.
 同次形の連立1次方程式は,つねに = を解にもつ.この解を自明な解という.( 0ai1 + 0ai2 +…+ 0ain0 に等しいのは自明の真理である.)
 同次形の連立1次方程式では,行基本変形によって右辺に1が登場する余地はなく,明らかにrank(A)=rank ([A])が成り立つ.また前節に示したように,rank(A)≦mかつrank(A)≦nであるから,m<nならばrank(A)≦m<n となって,任意定数が現われる.よって,次の定理が成り立つ.
定理3
(1) 方程式の個数が m 個,未知数の個数が n 個の同次形連立1次方程式
A=
自明な解のみをもつための必要十分条件は
rank (A)=n
(2) 方程式の個数が m 個,未知数の個数が n 個の同次形連立1次方程式
A=
は m < n のとき自明でない解をもつ.

※ 参考
○ 上の定理2(1)は,行列Aの列ベクトルが1次独立な場合に対応する.すなわち,

とおくと,
が1次独立」⇔「ならば
A=が自明な解のみをもつ」⇔「A=ならば

○ 上の定理2(2)は,行列 Aの列ベクトルが1次従属な場合に対応する.
 すなわち,
が1次従属」⇔「以外の解をもつ」
A=が自明でない解をもつ」⇔「A=以外の解をもつ」

○ 例6
2x1+x2+3x3=0
x1+2x23x3=0
 3x24x3=0
 の係数行列の基本変形は,次のようになる.
1行と2行の入れ替え

2行+1行×(−2)

2行÷(−3)

1行+2行×(−2), 3行+2行×(−3)

3行÷5

1行+3行×(−3), 2行+3行×3

したがって,rank(A)=3
方程式は自明な解x1=x2=x3=0 をもつ.

○ 例7
x1+2x23x3=0
2x1+4x26x3=0
4x1+11x29x3=0
 の係数行列の基本変形は,次のようになる.
2行+1行×(−2)

3行+1行×(−4)

2行と3行の入れ替え

2行÷3

1行+2行×(−2)

 したがって,rank(A)=2となり,方程式は自明でない解をもつ.
 x3=c3とおくとx1=5c3,x2=−c3,x3=c3だから


■確認テスト■ 
 次の空欄を埋めよ.(半角数字=1バイト文字を記入)
(1) 連立方程式
3x1+2x2=1
x1+3x2=5
 

の拡大係数行列の基本形を求める
1行と2行の入れ替え

2行+1行×(−3)
135
−7−14

 

2行÷(−7)
135
02

 

1行+2行×(−3)
1−1
012
 

したがって, 未知数の個数= ,係数行列の階数=拡大係数行列の階数= となり,方程式はただ1つの解をもつ.



(2) 連立方程式
x1+3x22x3=2
2x1+5x2+x3=4
 

の拡大係数行列の基本形を求める
2行+1行×(−2)

2行×(−1)

 したがって, 未知数の個数=,係数行列の階数=拡大係数行列の階数= となり,方程式は任意定数1つを含む解をもつ.

 x3=c3とおくと,x1=2−13c3,x2=5c3,x3=c3となるから
0
0




(3) 連立方程式
x1+3x2=−1
2x1x2=5
x1+x2 =0

 の拡大係数行列を基本形に直すと, となる.
 このとき,係数行列の階数は ,拡大係数行列の階数は となるから,この方程式の解は存在しない.

(4) 次の同次形連立1次方程式が自明でない解をもつように定数aの値を定めるには,
x1+2x2=0
ax1+6x2=0

 の係数行列 の基本形が となることから,
未知数の個数= に対して,係数行列の階数= となればよいから,6−2a= ,a=

(5) 同次形連立1次方程式
x1+x2+x3=0
2x1+x2x3=0
x1   + 2x3 =0


の係数行列を基本形に直すと, となる.
 この同次形連立1次方程式の自明でない解は,



 と書ける.


(6) 連立1次方程式
の解は,


 と書ける.

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