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1 ベクトルと基本概念1

○ n個の数x1, x2, …, xn を順序をつけて横に並べたもの:
(x1, x2, …, xn)
n次元数ベクトルという.数を横に並べているので,横ベクトルまたは行ベクトルともいう.
 個々の数x1, x2, …, xnはベクトルの成分と呼ばれる.

○ 数を縦に並べたもの
縦ベクトルまたは列ベクトルという.
例1 ある人の今日の朝食代が200円,昼食代が300円,夕食代が500円のとき,この人の今日の食費は,ベクトル
(200, 300, 500)
で表わすことができる.このとき,1番目の数字を朝食代,2番目の数字を昼食代,…としているから,
(300, 200, 500)
とすれば,朝食代と昼食代が入れ替わってしまう.

※ ベクトルのように,数字の並び方を変えれば内容が変わるものを表わすとき,数学では丸い括弧 ( , ) を使う.
※ 高校の数学では,ベクトルは n=2, 3 次元のときだけを扱い,図形と結びつけて理解したが,以下においてベクトルは「成分の順序に重要な意味のある情報」と理解すればよく,4次元以上の図示できない場合も取り扱う.また,以下の内容を理解するには,高校でベクトルを学んでいなくても差し支えない.

○ ベクトルは,vのように矢印の付いた文字や太文字で表わされる.
○ ベクトルには,2つの演算:スカラー倍が定義され,それらもベクトルになる.
がn次元の実数ベクトルであるとき, =(u1, u2, …, un),=(v1, v2, …, vn)とおくと,
もn次元の実数ベクトルになり,
=(u1, u2, …, un)+(v1, v2, …, vn)=(u1+v1, u2+v2, …, un+vn)
=λ(u1, u2, …, un)=(λu1, λu2, …, λun)である.

よく使うギリシャ文字の読み方

例2 夫の今日の朝食代が200円,昼食代が 300円,夕食代が 500円,妻の今日の朝食代が250円,昼食代が150円,夕食代が550円のとき,
 夫の今日の食費を表わすベクトルは,
=(200, 300, 500)
 妻の今日の食費を表わすベクトルは,
=(250, 150, 550)
 この二人の今日の食費を表わすベクトルは,
=(200+250, 300+150, 500+550)=(450, 450, 1050)となる.
 また,夫の30日間の食費を表わすベクトルは,
=30(200, 300, 500)=(6000, 9000, 15000)となる.

※ 上に述べたことは,ベクトル空間という数学用語を用いて,次のように表わすことができる。
「すべてのn次元の実数ベクトルがつくる集合をベクトル空間といいRnで表わす.このとき,Rnのどんな要素をもってきても,それらのスカラー倍は,Rnの要素となる.」
ならば

○ ベクトルの和およびスカラー倍については,次の関係が成り立つ.(ベクトル空間の任意の要素および実数について,次の関係が成り立つ.これらはベクトル空間の公理と呼ばれるが,ここでは深入りしない.)
および実数について
◇文字式の和と類似の性質◇
 (1) 任意のに対して
…足されるベクトル,足すベクトルを入れ替えても結果は変わらない.
 (2) 任意のに対して
…3つ(以上)のベクトルの和は,どの順に和を求めても結果は変わらない.
どちらの意味に解釈されても同じものとなるので,と書くことができる.
 (3) 任意のに対して次が成り立つようなベクトルが存在する.
…1つのベクトル空間では,はすべてのベクトルに共通なものがただ1つ存在する.
 (4) 任意のに対してそれぞれとなるベクトルが存在する.
…逆ベクトルはそれぞれのベクトルに対応して1つずつある.
…ベクトルの和と書いてよい.
◇文字式の定数倍と類似の性質◇
 (5) 任意のに対して
 (6) 任意のに対して
 (7) 任意のに対して
 (8) 任意のに対して

○ ベクトルのスカラー倍の和

  をベクトル1次結合という.
例3
(1) のとき,
が平行でない場合の例を示しています
のようにの1次結合で表わされる.
(2) のとき,
が平行である場合の例を示しています
なぜならば,のある1次結合に対してが成り立つとすると,
となって,
を満たすが存在することになり,矛盾となるからである.

○ ベクトル=(x1, x2, …, xn)と=(y1, y2, …, yn)の内積を次の式で定義する.
=x1y1+x2y2+…+xnyn
※ ベクトルの内積はベクトルになるのではなく,単なる数になることに注意.
例4
(1) りんご,かき,みかん1個の価格が各々150円,100円,80円であるとき,これらの果物の価格はベクトル
=(150, 100, 80)
で表わされる.また,りんご,かき,みかんを各々3個,4個,5個セットにした贈り物の果物の個数は,ベクトル
=(3, 4, 5)
で表わされる.このとき,贈り物1セットの合計価格は
=150・3+100・4+80・5=1250 (円)
で表せる.
(2) ある人の1日当りの朝食代が 300円,昼食代が 500円,夕食代が 800円のとき,この人の1日の食費は,ベクトル
=(300, 500, 800)
で表わすことができる.この人が1週間に朝食,昼食,夕食を各々5回,6回,7回食べたとき,この人の1週間の食事回数は,ベクトル
=(5, 6, 7)
で表わされる.このとき,この人の1週間の食事代金は,
=300・5+500・6+800・7=10100 (円)
で表せる.なお,この人の1日3食の食事代金は
=(1, 1, 1)
とおくと
=300・1+500・1+800・1=1600 (円)
で計算できる.

■確認テスト■ 次の計算をせよ.(入力は半角数字で)
(1) =(2, 3),=(4, 5)のとき,=(, ) 
(2) =(2, 3, 4)のとき,=(, , ) 
(3) =(1, 3),=(2, 5)のとき,
=(, ) 
(4) =(1, −2, 3),=(3, 4, 5)のとき,
=(, , ) 
(5) =(−2, 3),=(4, 5)のとき,= 
(6) =(6, −3, 2),=(1, 3, −2)のとき,= 
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