13　固有値

　　この章では，行列は断らない限り正方行列を扱い，n次方程式がつねに解をもつように，数値は複素数までの範囲で考える．
（※ 複素数全体の集合はCで表わす．λ∈Cとは，λが複素数全体の集合の要素であること，すなわち１つの複素数であることを表わす． $\vec{p}$ ∈Cnは $\vec{p}$ がn個の複素数を成分とするベクトルであることを表わす．）

○　固有値の定義

　n次正方行列 $A$ に対して $A\vec{p}=\lambda\vec{p}\hspace{10}(\vec{p}\in C^n,\hspace{2}\vec{p}\ne\vec{0},\hspace{2}\lambda\in C)$ を満たすスカラー $\lambda$ を行列 $A$ の固有値(Eigenvalue)，といい， $\vec{p}$ を固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトル(Eigenvector)という．

例１

$A=\begin{pmatrix}8& 1\\ 4& 5\end{pmatrix}$

$\vec{p_1}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$

$\vec{p_2}=\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}8& 1\\ 4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=9\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}8& 1\\ 4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}$

$\lambda_1=9$

$A$

$\vec{p_1}$

$\lambda_1$

$\lambda_2=4$

$A$

$\vec{p_2}$

$\lambda_2$

○　 $\vec{p}$ が固有値λに属する固有ベクトルであるならば，その任意の0以外の定数倍 $c\vec{p}$ もまた固有値λに属する固有ベクトルである．実際， $A\vec{p}=\lambda\vec{p}\hspace{10}(\vec{p}\in C^n,\hspace{2}\vec{p}\ne\vec{0},\hspace{2}\lambda\in C)$ ならば $Ac\vec{p}=\lambda c\vec{p}\hspace{10}(c\vec{p}\in C^n,\hspace{2}c\vec{p}\ne\vec{0},\hspace{2}\lambda\in C)$ となるからである．

○　固有値と固有ベクトルを求めるには， $A\vec{p}=\lambda\vec{p}$ すなわち $(A-\lambda E)\vec{p}=\vec{0}$ が $\vec{p}=\vec{0}$ 以外の解をもつようなλの値を求める必要がある．
　n次正方行列 $A$ に対して，n次多項式

$ch_A(\lambda)=\mid \lambda E-A\mid$
$=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\ldots&-a_{1n}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&\ldots&-a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-a_{n1}&-a_{n2}&\ldots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}$
（書物によっては， $ch_A(\lambda)$ を $\mid A-\lambda E\mid$ で定義することがある．）

をAの固有多項式（または特性多項式Characteristic polynomial）という．
また，これを0とおいたλのn次方程式

$ch_A(\lambda)=\mid \lambda E-A\mid=0$

をAの固有方程式（または特性方程式Characteristic equation）という．

例２

$A=\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix}\lambda-a& -b\\ -c& \lambda-d\end{vmatrix}=\lambda^2-(a+ d)\lambda+(ad-bc)$

$=\lambda^2-\rm{trace}(A)\lambda+\mid A\mid$

trace

E−A

trace

n−1

|A|

trace

定理８
$\lambda_0$ が行列 $A$ の固有値となるための必要十分条件は， $ch_A(\lambda_0)=0$ となることである．

$ch_A(\lambda_0)=\mid\lambda_0E-A\mid\ne 0$ ならば $(A-\lambda_0E)^{-1}$ が存在することとなり，
$(A-\lambda_0 E)\vec{p}=\vec{0}$ に左から $(A-\lambda_0E)^{-1}$ を掛けると， $\vec{p}=\vec{0}$ となって矛盾．
したがって， $ch_A(\lambda_0)=0$

$\lambda_0E-A$ は正則でないから，同次方程式 $(A-\lambda_0 E)\vec{p}=\vec{0}$ は，自明でない解をもつ．
このとき $\vec{p}$ は，固有値 $\lambda_0$ に属する固有ベクトルとなっている．

$\begin{pmatrix}-4&-1\\0& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$-4x_1-x_2=0$ となるから $x_1=c$ とおくと
$\vec{p}=c\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}\hspace{5}(c\ne 0)$

$\begin{pmatrix}1&-1\\0& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$x_1-x_2=0$ となるから $x_2=d$ とおくと
$\vec{p}=d\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\hspace{5}(d\ne 0)$

固有方程式 $\begin{vmatrix}\lambda-1& 2\\3& \lambda-2\end{vmatrix}=0$
$\lambda^2-3\lambda-4=0$
の解は $\lambda=4,\hspace{2}-1$
ア）固有値λ=4のとき，

$\begin{pmatrix}3& -2\\-3& 2\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$\begin{pmatrix}3& -2\\0& 0\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$3x_1-2x_2=0$ を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=c\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\hspace{5}(c\ne 0)$

イ）固有値λ=−1のとき，

$\begin{pmatrix}-2& -2\\-3& -3\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1+ x_2=0$ を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=d\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\hspace{5}(d\ne 0)$

固有方程式 $\begin{vmatrix}\lambda+ 1& 2\\2& \lambda-2\end{vmatrix}=0$
$\lambda^2-\lambda-6=0$
の解は $\lambda=3,\hspace{2}-2$
ア）固有値λ=3のとき，

$\begin{pmatrix}4& 2\\2& 1\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$2x_1+ x_2=0$ を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=c\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\hspace{5}(c\ne 0)$

イ）固有値λ=−2のとき，

$\begin{pmatrix}-1& 2\\2& -4\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1-2x_2=0$ を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=d\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\hspace{5}(d\ne 0)$

固有方程式 $\begin{vmatrix}\lambda+ 7& -6& -4\\7& \lambda-6& -4\\2& -2& \lambda-1\end{vmatrix}=0$
$\lambda^3-\lambda=0$
$(\lambda-1)\lambda(\lambda+ 1)=0$
の解はλ=−1, 0, 1
ア）固有値λ=−1のとき，

$\begin{pmatrix}6& -6& -4\\7& -7& -4\\2& -2& -2\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1-x_2=0$
$x_3=0$
を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\hspace{5}(c\ne 0)$

イ）固有値λ=0のとき，

$\begin{pmatrix}7& -6& -4\\7& -6& -4\\2& -2& -1\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1-2x_2=0$
$x_1-x_3=0$
を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=d\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\hspace{5}(d\ne 0)$
［※零ベクトル $\vec{0}$ の固有ベクトルはないが，零という固有値はあることに注意］

ウ）固有値λ=1のとき，

$\begin{pmatrix}8& -6& -4\\7& -5& -4\\2& -2& 0\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1-2x_2=0$
$x_1-2x_3=0$
を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=e\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\hspace{5}(e\ne 0)$

固有方程式 $\begin{vmatrix}\lambda-1& -4& -6\\0& \lambda-2& -5\\0& 0& \lambda-3\end{vmatrix}=0$
$(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0$
の解はλ=1, 2, 3
ア）固有値λ=1のとき，

$\begin{pmatrix}0& -4& -6\\0& -1& -5\\0& 0& -2\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_2=0$
$x_3=0$
を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=c\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\hspace{5}(c\ne 0)$

イ）固有値λ=2のとき，

$\begin{pmatrix}1& -4& -6\\0& 0& -5\\0& 0& -1\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1-4x_2=0$
$x_3=0$
を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=d\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\hspace{5}(d\ne 0)$

ウ）固有値λ=3のとき，

$\begin{pmatrix}2& -4& -6\\0& 1& -5\\0& 0& 0\end{pmatrix}\vec{p}=\vec{0}$
$x_1-13x_3=0$
$x_2-5x_3=0$
を満たすから
固有ベクトルは $\vec{p}=e\begin{pmatrix}13\\5\\1\end{pmatrix}\hspace{5}(d\ne 0)$