４　行列の演算

○　行列の和と差　　２つの行列の和と差は，行列の型が同じ場合のみ定義され，各成分の和および差を成分とする行列として定義される．
$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix}b_{11}& b_{12}&\ldots& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \ldots& b_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m1}& b_{m2}&\ldots & b_{mn}\end{pmatrix}$ $=\left(\begin{matrix}a_{11}+ b_{11}& a_{12}+ b_{12}\\ a_{21}+ b_{21}& a_{22}+ b_{22}\\ \vdots& \vdots\\a_{m1}+ b_{m1}& a_{m2}+ b_{m2}\end{matrix}$ $\begin{matrix}&\ldots& a_{1n}+ b_{1n}\\& \ldots & a_{2n}+ b_{2n}\\& \ddots&\vdots\\& \ldots& a_{mn}+ b_{mn}\end{matrix}$ $\Biggr)$

$\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix}b_{11}& b_{12}&\ldots& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \ldots& b_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m1}& b_{m2}&\ldots & b_{mn}\end{pmatrix}$ $=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}\\ \vdots& \vdots\\a_{m1}-b_{m1}& a_{m2}-b_{m2}\end{matrix}$ $\begin{matrix}&\ldots& a_{1n}-b_{1n}\\& \ldots & a_{2n}-b_{2n}\\& \ddots&\vdots\\& \ldots& a_{mn}-b_{mn}\end{matrix}$ $\Biggr)$

例１
$\begin{pmatrix}3& 4& 5\\ 2& 0& -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2& 0& -2\\ -1& 5& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}5& 4& 3\\ 1& 5& -1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3& 4& 5\\ 2& 0& -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2& 0& -2\\ -1& 5& 1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}1& 4& 7\\ 3& -5& -3\end{pmatrix}$

○　ベクトルのスカラー倍と同様に，行列 A のスカラー倍 kA は， A の各成分をk倍したものを成分とする行列として定義される．
$k\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \ldots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}ka_{11}& ka_{12}&\ldots& ka_{1n}\\ ka_{21}& ka_{22}& \ldots& ka_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ ka_{m1}& ka_{m2}&\ldots & ka_{mn}\end{pmatrix}$

例２
$\sqrt{2}\begin{pmatrix}5& 2\sqrt{2}& 3\\ 1& 5& -\sqrt{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\sqrt{2}& 4& 3\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 5\sqrt{2}& -2\end{pmatrix}$

○　行列の積　　２つの行列 A，Bの積ABは，

[1]　 Aの列数とBの行数が等しいときだけ定義され， l×m行列とm×n行列との積は，l×n行列となる．
[2]　 Aのi行ベクトルとBのj列ベクトルの内積がABの(i, j)成分となる．

[具体例]　　りんご，かき，みかんの単価を各々 150円，120円，80円とする．また，りんご，かき，みかんを各々3個，4個，5個買ったものとする．
単価を表わす行ベクトルを
$\vec{a}=(150,\hspace{2}120,\hspace{2}80)$
で，個数を表わす列ベクトルを
$\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 5\end{pmatrix}$
で表わすと，合計価格は内積
$\vec{a}\cdot\vec{b}=150\cdot 3+ 120\cdot 4+ 80\cdot 5=1330$
となるが，この計算は $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ の要素の個数が一致する場合だけ定義される．
…　　 …　　 … 　次のようにi行とj列の内積が(i, j)成分となる．

$\Biggl($ $\begin{matrix}a_{11}& a_{12}&\ldots& a_{1m}\end{matrix}$

$\begin{matrix}a_{i1}& a_{i2}&\ldots& a_{im}\end{matrix}$

$\begin{matrix}a_{l1}& a_{l2}&\ldots& a_{lm}\end{matrix}$ $\Biggr)$ $\Biggl($ $\begin{matrix}b_{11}\\ \vdots\\ b_{k1}\\ \vdots \\ b_{m1}\end{matrix}$
$\begin{matrix}b_{1j}\\ \vdots\\ b_{kj}\\ \vdots \\ b_{mj}\end{matrix}$
$\begin{matrix}b_{1n}\\ \vdots\\ b_{kn}\\ \vdots \\ b_{mn}\end{matrix}$ $\Biggr)$

$=\Biggl($ $c_{11}\hspace{5}\ldots\hspace{10}c_{1j}\hspace{10}\ldots\hspace{5}c_{1n}$

$c_{i1}\hspace{5}\ldots\hspace{5}$ $c_{ij}$ $\hspace{5}\ldots\hspace{5}c_{in}$

$c_{l1}\hspace{5}\ldots\hspace{10}c_{lj}\hspace{10}\ldots\hspace{5}c_{ln}$
$\Biggr)$

例３　次の積において(2, 3)成分は，2･1+3･2+1･3=11となる．他の成分も順次計算すると
$\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ \fbox{2}& \fbox{3}& \fbox{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0& \fbox{1}& 0\\ 0& 4 & \fbox{2}& 3\\ 2& 0& \fbox{3}& 2\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}18& 8& 17& 12\\ 8& 12& \fbox{11}& 11\end{pmatrix}$

例４　次の積は定義されない：3×4型・2×3型
$\begin{pmatrix}3& 0& 1 & 0\\ 0& 4& 2& 3\\ 2& 0& 3& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}$

※　上の例３，４の違いから分かるように，行列の積についてはABが定義されても，BAも定義されるとは限らない点に注意．
　また，次の例のようにAB，BAとも定義されても型が異なり，AB≠BAとなる場合がある．AB=BAとなるとき，A，Bは可換であるという．

2×3型・3×2型 → 2×2型
$\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0& 4\\ 2& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18& 8\\ 8& 12\end{pmatrix}$
3×2型・2×3型 → 3×3型
$\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0& 4\\ 2& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12& 6& 9\\ 8& 12& 4\\ 8& 4& 6\end{pmatrix}$

○　ある行列Aと単位行列Eとの積が定義できるとき，その積はつねにAとなる．
　　　m×n型・n×n型：AE=A
$\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}$
　　　m×m型・m×n型：EA=A
$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{pmatrix}$

○　行列の演算の性質をまとめると，次のようになる．
（演算が定義できる限り，結合法則，分配法則，和の交換法則はつねに成立するが，積の交換法則はつねには成立しないところが重要）

和の交換法則積は交換法則成立せず	A+B=B+A AB≠BA
零元の性質単位元の性質	A0=0A=0，A+0=0+A=A AE=EA=A
スカラー倍の性質	0A=0，1A=A，(ab)A=a(bA)，(aA)B=a(AB)
和の結合法則積の結合法則	(A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC)
分配法則	a(A+B)=aA+aB，(a+b)A= aA+bA A(B+C)=AB+AC，(A+B)C= AC+BC

※　和の結合法則　(A+B)+C=A+(B+C) から，A+B+C という式は，どちらの意味に理解されても等しく，A+B+C と書いてよい．k個の和は A+A+…+A=kA と書くことができる．

※　同様にして，積の結合法則　(AB)C=A(BC) から，ABC という式は，どちらの意味に理解されても等しく，ABC と書いてよい．A が正方行列ならば，自分自身との積が定義でき，k個の積を AA…A=Akと書くことができる．

○　行列 Aの行と列を入れ替えて得られる行列を Aの転置行列（transposed matrix）といい，tAと書く．
　　tAの ( i, j) 成分はAの ( j, i) 成分である．

例５
$A=\begin{pmatrix}3& 4& 5\\ -6& -7& -8\end{pmatrix}$ ならば $^tA=\begin{pmatrix}3& -6\\ 4& -7\\5& -8\end{pmatrix}$

○　転置行列については，次の性質がある．
t(tA)=A，　t(aA)=a(tA)，　t(A+B)=tA+tB，　t(AB)=tBtA

最後の式は次のように示すことができる：
両辺の ( i, j) 成分が等しいことを示す．
行列 Aはp×q行列， Bはq×r列とする．
左辺の ( i, j) 成分は，ABの ( j, i) 成分だから，

○　正方行列では，行数と列数が等しいので，tA=Aとなるものが存在する．このような行列を対称行列（symmetric matrixfont>）という．これに対して，tA=−Aとなる正方行列を交代行列という．

例６
$^t\begin{pmatrix}3& 1& 2\\ 1& 4& 7\\ 2& 7& 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3& 1& 2\\ 1& 4& 7\\ 2& 7& 9\end{pmatrix}$ だから $\begin{pmatrix}3& 1& 2\\ 1& 4& 7\\ 2& 7& 9\end{pmatrix}$ は対称行列
$^t\begin{pmatrix}0& -1& 2\\ 1& 0& -7\\ -2& 7& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& 1& -2\\ -1& 0& 7\\ 2& -7& 0\end{pmatrix}$ $=-\begin{pmatrix}0& -1& 2\\ 1& 0& -7\\ -2& 7& 0\end{pmatrix}$ だから $\begin{pmatrix}0& -1& 2\\ 1& 0& -7\\ -2& 7& 0\end{pmatrix}$ は交代行列

(1)　次の計算をせよ．

$\begin{pmatrix}1& 0& 3\\ -2& 5& 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 1& 2\\ 3& 0& 1\end{pmatrix}$

$=\Bigl($

$\Bigr)$

採点するやり直す

$\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$2\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2& 5\end{pmatrix}+ 3\begin{pmatrix}0& 1\\ 3& 0\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 2\\ 3& 4\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$^t\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3& 4\end{pmatrix}=$

$\Biggl($

$\Biggr)$

採点するやり直す

$A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 1& -1\\ 0& 3\end{pmatrix},\hspace{3}B=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4& 1\end{pmatrix}$ のとき

$AB=\Biggl($

4

−1

12

$\Biggr)$

採点するやり直す

$C=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1& 0\end{pmatrix},\hspace{3}D=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 1& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}$ のとき

$C\hspace{10}^tD=\Bigl($

3 −1

3 −1

$\Bigr)$

採点するやり直す
(2)　行列 $A=\begin{pmatrix}1& 3\\ 2& 4\end{pmatrix},\hspace{3}B=\begin{pmatrix}1 & 3& 5\\ 2& 4& 6\end{pmatrix},\hspace{3}C=\begin{pmatrix}1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix}$
について，次のうちで演算が定義できるものを選べ．（チェックを付ける）
A+B　， AB−B　， AC−B　， BC
tAB　， AtB　， tAtB　， A+tB
採点するやり直す

(3)　次の等式が成り立つように，定数a, b, cの値を定めよ．

$\begin{pmatrix}a& 0\\ b& c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\ 5& 1\end{pmatrix}$

a=, b=, c=
採点するやり直す

(4)　行列 $A=\begin{pmatrix}a& 0\\ b& 1\end{pmatrix}$ が任意の２次正方行列と可換となるように，定数a, bの値を定めよ．

（考え方）
任意の定数x, y, z, uについて，次の等式が成立すればよい．すなわち，x, y, z, uの恒等式となればよい．
$\begin{pmatrix}a& 0\\ b& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x& y\\ z& u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x& y\\ z& u\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a& 0\\ b& 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}ax& ay\\ bx+ z& by+ u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+ by& y\\ az+ bu& u\end{pmatrix}$
a=, b=
採点するやり直す

(5)　次の関係を，言葉で表現しているものを下から選べ　：　tA=A　→　t(A2)=A2

対角行列の２乗は対角行列となる．　　転置行列の２乗は転置行列となる．
対称行列の２乗は対称行列となる．　　交代行列の２乗は交代行列となる．
転置行列の２乗は元の行列に等しい．　
採点するやり直す