■重積分の計算

◇累次積分◇

 区間 axb において不等式 p(x)yq(x) を満たす xy 平面上の領域を K とする.K 上で定義される関数 z=f(x , y)0 について,不等式 0zf(x , y) を満たす xyz 空間の領域(立体)を M とするとき,立体 M の体積を求めることを考える.
 集合記号で表わすと次の領域となっている:
K={(x,y)|axbp(x)yq(x)}
M={(x,y,z)|(x,y)K0zf(x,y)}

 図2,図3において桃色で示した x=t の断面の面積を M(t) とすると,
M(t)=  f(t , y)dy

 M の体積を V とおくと,

V={  f(x , y)dy }dx···(1)

一方,領域 K 上の重積分は

V= f(x , y) dxdy···(2)

で表わされるから,

f(x , y) dxdy={  f(x , y)dy }dx

※ このように定積分を繰り返し行うこと(累次積分)により重積分の値を求めることができる.
※ 上の説明では f(x , y)0 の場合について,体積を求めたが,f(x , y) が必ずしも正または0とは限らないとき重積分は体積を表わさないが,累次積分で求められる事情は同じである.
※ 図4のように,領域 K の形によっては,y=u の断面から求める方が求めやすいことがある.この場合は,

V={  f(x , y)dx }dy

で求められる.
図1
図2
図3
図4
例1
 右図のように,0xa0yb0zc の区間にある直方体の体積は V=abc であるが,これを重積分で確かめると
ア) x=t の断面で切ると ,

M(t)= c dy=cy=bc


V={ c dy }dx= bc dx=bcx=abc

イ) y=u の断面で切ると ,

M(u)= c dx=cx=ac


V={ c dx }dy= ac dy=acy=abc
例2
 K={ (x,y)| 0x10y1 }
 M={ (x,y,z) | (x,y)K , 0zxy } で定義される立体の体積は,

V= xy dxdy=x2ydy= ydy

= y2=

一般に,f(x,y)=g(x)h(y) のように,積の形に変数分離できるときは

g(x)h(y) dydx=g(x)dxh(y)dy …(A)

が成り立つ.

  xmyn dydx= xmdxyndy

=
だから


(Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F) dydx

=+++++F
z=xy の曲面
例3
 右図のように,y=2xx 軸および直線 x=1 とで囲まれた図形上で定義される2変数関数 z=xy と平面 z=0 とで囲まれる立体の体積
 すなわち,
 K={ (x,y)| 0x1 0y2x }
 M={ (x,y,z) | (x,y)K , 0zxy } で定義される立体の体積は,
ア) x 軸に垂直な断面で切り,y で積分した後に x で積分すれば

{ xy dy}dx=x · y2dx=2x3dx

=x4=

イ) y 軸に垂直な断面で切り,x で積分した後に y で積分すれば

{ xy dx}dy=x2ydy=(y - y3)dy

=y2 - y4=
例4
 右図のように,y=xy=x2 とで囲まれた図形上で定義される2変数関数 z=x+y と平面 z=0 とで囲まれる立体の体積
 すなわち,
 K={ (x,y)| 0x1 x2yx }
 M={ (x,y,z) | (x,y)K , 0zx+y } で定義される立体の体積は,
ア) x 軸に垂直な断面で切り,y で積分した後に x で積分すれば

{ (x+y) dy}dx=xy+y2dx

={ (x2+x2) - (x3+x4) }dx

= (x2 - x3 - x4)dx

=x3 - x4 - x5

= - - =

イ) y 軸に垂直な断面で切り,x で積分した後に y で積分すれば

{ xy dx}dy=x2ydy=(y - y3)dy

=y2 - y4=
 問題 
(1)
    2y dxdy  ,K={ (x,y)| 0x1 0y1 }

を計算せよ.
(原式)=
 Check   Reset   Help 
(2)
    3y dxdy  ,K={ (x,y)| 0x1 1-xy1 }

を計算せよ.
(原式)=
 Check   Reset   Help 
(3)
 原点を中心とする半径 1 の円の上半分の領域を D とするとき,

    y2 dxdy  ,D={ (x,y)| x2+y21 0y }

を計算せよ.
 なお,必要ならば次の公式を用いよ.

  cos2t=(cos 2t+1)  (半角公式)

   cos4t=(cos2t)2={(cos 2t+1)}2

   ={cos22t+2cos 2t+1}

   ={(cos 4t+1)+2cos 2t+1}=cos 4t+cos 2t+
(原式)=
 Check   Reset   Help 

◇極座標◇

 極座標 x=r cosθy=r sinθ により,rθ 平面上の領域 Hxy 平面上の領域 K に写す変数変換を考えると,
dxdy=|J|drdθ
において,

J= =

|J|=r cos2+r sin2=r だから

f(x,y) dxdy= f( r cosθ , r sinθ) r drdθ

が成り立つ.

上の問題(3)は極座標 x=r cosθy=r sinθ を用いると,次のように計算できる

y2 dxdy={ r2sin2θ r dr}dθ

= sin2θ dθr2r dr= (1 - cos 2θ )dθr2r dr

=(θ - sin 2θ )r4=· =
 上の例2の(A)を用いて次の式が導かれる.

xy 平面全体(-∞<x<∞, -∞<y<∞の範囲)を領域 K とするとき
e- (x2+y2) dxdy=π …(1)

さらに
 e- x2dx= …(2)[ ガウスの公式 ]

 e- ax2dx= (a>0) …(3)

(右辺)=  e- r2r drdθ


( - e- r2)’=e- r2r  に注意すると

 e- r2r dr= ( - e- r2)’ dr= - e- r2=


(右辺)=  dθ= =π →(1)


以上から,I2=π
I= →(2)
さらに,(3)の左辺において, x=t とおいて置換積分を行うと,
dx=dt
x - ∞ → ∞
t - ∞ → ∞

 e- ax2dx= e- t2=
(解説)
 右図のように,極座標 x=r cosθy=r sinθにより,rθ平面上の領域 Hxy平面上の領域 K に写す変数変換を考えると,
dxdy=|J|drdθ
|J|=r
となるから,
e- (x2+y2) dxdy= e- r2r drdθ


(左辺)= e- x2e- y2 dxdy= e- x2dx e- y2dy


 e- x2dx= e- x2dx=I とおくと,

(左辺)=I2         (続く→)

次の(1)(2)を満たす関数 f(x) を確率密度関数(または,確率分布関数)という.
 (1) 区間 -∞<x<∞ において,つねに f(x)0

 (2) f(x)dx=1

 問題 
(1) 関数 f(x)=A e - が確率密度関数を表わすように,定数 A の値を定めよ.
A=
 Check   Reset   Help 
(2) 関数 f(x)=B e -σ >0 )が確率密度関数を表わすように,定数 B の値を定めよ.
B=
 Check   Reset   Help 
(3)
 原点を中心とする半径 1 の円で 0x , 0y を満たす領域を D とするとき,

  (x+y) dxdy ,  D={ (x,y)| x2+y21 , 0x , 0y}

を極座標 x=r cosθy=r sinθ を用いて計算せよ.
(原式)=
 Check   Reset   Help 
○===メニューに戻る